Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

-cos²

x

2

+

1

2

（1）若x∈[0，

π

2

]，且f（x）=

3

3

，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足2bcosA≤2c+

3

a，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）函數(shù)解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)f（x）的值求出sin（x-

π

6

），由x的范圍確定出x-

π

6

的范圍，進(jìn)而求出cos（x-

π

6

）的值，cosx變形為cos[（x-

π

6

）+

π

6

]，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值；
（2）已知不等式利用正弦定理化簡，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，根據(jù)sinA不為0求出cosB的范圍，進(jìn)而確定出B的范圍，即可求出f（B）的范圍．

解答： 解：（1）依題意得f（x）=

3

2

sinx-

1+cosx

2

+

1

2

=

3

2

sinx-

1

2

cosx=sin（x-

π

6

），
由x∈[0，

π

2

]得：-

π

6

≤x-

π

6

≤

π

3

，
∵f（x）=sin（x-

π

6

）=

3

3

＞0，
∴cos（x-

π

6

）=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
則cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]=cos（x-

π

6

）cos

π

6

-sin（x-

π

6

）sin

π

6

=

2

2

-

3

6

；
（2）在△ABC中，利用正弦定理化簡2bcosA≤2c+

3

a，得：2sinBcosA≤2sinC+

3

sinA=2sin（A+B）+

3

sinA，
整理得：2sinBcosA≤2sinAcosB+2sinBcosA+

3

sinA，即2sinAcosB+

3

sinA≥0，
∵sinA≠0，∴2cosB+

3

≥0，即cosB≥-

3

2

，
∴0＜B≤

5π

6

，即-

π

6

＜B-

π

6

≤

2π

3

，
則f（B）=sin（B-

π

6

）∈（-

1

2

，1]．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．