Question

已知函數(shù)f（x）=-（x+2）（x-m）（其中m＞-2），g（x）=2^x-2﹒
（Ⅰ）若命題“l(fā)og₂g（x）≤1”是真命題，求x的取值范圍；
（Ⅱ）設命題p：?x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0，若?p是假命題，求m的取值范圍﹒

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,命題的否定

專題：簡易邏輯

分析：（Ⅰ）通過命題“l(fā)og₂g（x）≤1”是真命題，轉化為不等式組，解不等式組即可得到x的取值范圍；
（Ⅱ）寫出命題p：?x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0的?p，利用?p是假命題，原命題是真命題，轉化為不等式，求解即可得到m的取值范圍﹒

解答： 解：（Ⅰ）若命題“l(fā)og₂g（x）≤1”是真命題，即log₂g（x）≤1恒成立；
即log₂g（x）≤log₂2，等價于

2x-2＞0 2x-2≤2

…（3分）
解得1＜x≤2，…（4分）
故所求x的取值范圍是{x|1＜x≤2}；…（5分）
（Ⅱ）因為?p是假命題，則p為真命題，…（6分）
而當x＞1時，g（x）=2^x-2＞0，…（7分）
又p是真命題，則x＞1時，f（x）＜0，
所以f（1）=-（1+2）（1-m）≤0，即m≤1；…（9分）
（或據(jù)-（x+2）（x-m）＜0解集得出）
故所求m的取值范圍為{m|-2＜m≤1}﹒…（10分）

點評：本題考查命題的真假的判斷與應用，轉化思想的應用，不等式組的解法，考查分析問題解決問題的能力．