【題目】已知,
,對任意
,有
成立.
(1)求的通項公式;
(2)設,
,
是數(shù)列
的前
項和,求正整數(shù)
,使得對任意
,
恒成立;
(3)設,
是數(shù)列
的前
項和,若對任意
均有
恒成立,求
的最小值.
【答案】(1) (2)
或
(3)
【解析】
(1)由可得
,結(jié)合平面向量的坐標運算可得到
的關系式,再結(jié)合
可證明數(shù)列
是等比數(shù)列,進而可求出通項公式;
(2)將兩端同時除以
,可得到
,從而可證明數(shù)列
是等差數(shù)列,即可求出
的表達式,進而求得
的通項公式,通過判斷其表達式特點,可求出滿足題意的正整數(shù)
;
(3)由題得,,利用裂項相消求和法可求出
,結(jié)合不等式的性質(zhì),可求出
的最小值.
(1)由題可得,則
,
當時,可得
.
時,
,則
,即
,
故數(shù)列是以2為首項,公比為2的等比數(shù)列,通項公式為
.
(2),等式兩端同時除以
得:
,即
,
故是以
為首項,公差為
的等差數(shù)列,通項公式為
,
則.
因為當,
,當
時
,
,所以當
或
時,
取最大值,對任意
,
恒成立.
(3)由題意,,
則,故
.
所以的最小值為
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某大型商場在2018年國慶舉辦了一次抽獎活動抽獎箱里放有3個紅球,3個黑球和1個白球這些小球除顏色外大小形狀完全相同
,從中隨機一次性取3個小球,每位顧客每次抽完獎后將球放回抽獎箱活動另附說明如下:
凡購物滿
含
元者,憑購物打印憑條可獲得一次抽獎機會;
凡購物滿
含
元者,憑購物打印憑條可獲得兩次抽獎機會;
若取得的3個小球只有1種顏色,則該顧客中得一等獎,獎金是一個10元的紅包;
若取得的3個小球有3種顏色,則該顧客中得二等獎,獎金是一個5元的紅包;
若取得的3個小球只有2種顏色,則該顧客中得三等獎,獎金是一個2元的紅包.
抽獎活動的組織者記錄了該超市前20位顧客的購物消費數(shù)據(jù)單位:元
,繪制得到如圖所示的莖葉圖.
求這20位顧客中獲得抽獎機會的顧客的購物消費數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)
結(jié)果精確到整數(shù)部分
;
記一次抽獎獲得的紅包獎金數(shù)
單位:元
為X,求X的分布列及數(shù)學期望,并計算這20位顧客在抽獎中獲得紅包的總獎金數(shù)的平均值
假定每位獲得抽獎機會的顧客都會去抽獎
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知兩個半徑不相等的與
相交于M、N兩點,且
、
分別與
內(nèi)切于S、T兩點。求證:OM⊥MN的充分必要條件是S、N、T三點共線。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】給定正整數(shù),已知用克數(shù)都是正整數(shù)的
塊砝碼和一臺天平可以稱出質(zhì)量為
克的所有物品.
(1)求的最小值
;
(2)當且僅當取什么值時,上述
塊砝碼的組成方式是惟一確定的?并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】
設平面上向量=(cosα,sinα) (0°≤α<360°),
=(-
,
).
(1)試證:向量與
垂直;
(2)當兩個向量與
的模相等時,求角α.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=,M為BC的中點.
(I)證明:AM⊥PM ;
(II)求二面角P-AM-D的大小.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在
上為增函數(shù),求
的取值范圍;
(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點,記作
,
,且
,證明:
(
為自然對數(shù)).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如下圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,點D,E分別在棱PB,PC上,且DE∥BC.
(1)求證:BC⊥平面PAC;
(2)當D為PB的中點時,求AD與平面PAC所成的角的正弦值;
(3)是否存在點E,使得二面角A-DE-P為直二面角?并說明理由.
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