Question

以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．設(shè)曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosα y= 3 sinα

（α是參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+

π

6

）=2

3

．
（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；
（2）設(shè)點P為曲線C上任意一點，求點P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式把直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去α，把曲線C的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)點P（2cosα，

3

sinα），求得點P到直線l的距離d=

| 15 cos(α+β)-4 3 |

2

，tanβ=

1

2

，由此求得d的最大值．

解答： 解：（1）∵直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+

π

6

）=2

3

，即ρ（

3

2

cosθ-

1

2

sinθ）=2

3

，
即

3

x-y-4

3

=0．
曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosα y= 3 sinα

（α是參數(shù)），利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去α，
可得

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)點P（2cosα，

3

sinα）為曲線C上任意一點，
則點P到直線l的距離d=

|2 3 cosα- 3 sinα-4 3 |

3+1

=

| 15 cos(α+β)-4 3 |

2

，tanβ=

1

2

，
故當(dāng)cos（α+β）=-1時，d取得最大值為

15 +4 3

2

．

點評：本題主要考查把極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點到直線的距離公式、輔助角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．