Question

9．已知點P為橢圓x²+2y²=98上一個動點，A（0，5），求|PA|的最值．

Answer 1

分析 可設(shè)P（7$\sqrt{2}$cosα，7sinα），0≤α＜2π，A（0，5），即有|PA|=$\sqrt{（7\sqrt{2}cosα）^{2}+（7sinα-5）^{2}}$，再由同角的平方關(guān)系和正弦函數(shù)的值域，配方即可得到所求最值．

解答 解：點P為橢圓x²+2y²=98上一個動點，
可設(shè)P（7$\sqrt{2}$cosα，7sinα），0≤α＜2π，
A（0，5），即有|PA|=$\sqrt{（7\sqrt{2}cosα）^{2}+（7sinα-5）^{2}}$
=$\sqrt{-49si{n}^{2}α-70sinα+123}$
=$\sqrt{-49（sinα+\frac{5}{7}）^{2}+148}$，
由-1≤sinα≤1，可得sinα=-$\frac{5}{7}$時，|PA|取得最大值2$\sqrt{37}$；
當(dāng)sinα=1，即α=$\frac{π}{2}$時，|PA|取得最小值2．

點評 本題考查橢圓的參數(shù)方程的運用，考查三角函數(shù)的化簡和求值，注意運用同角的平方關(guān)系和正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．