Question

已知公差為d的等差數(shù)列a_n，0＜a₁＜

π

2

，0＜d＜

π

2

，其前n項(xiàng)和為S_n，若sin（a₁+a₃）=sina₂，cos（a₃-a₁）=cosa₂．
（1）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

Sn

(n+1)•2n-1

，求數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)，得出sin（a₁+a₃）=sina₂然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，要注意a₁、d的范圍求出a₁、d，進(jìn)而得出通項(xiàng)公式．
（2）首先求出數(shù)列b_n的通項(xiàng)公式，然后利用Tn=T_n-

1

2

T_n求出結(jié)果．

解答：解：（1）∵sin（a₁+a₃）=sina₂，∴sin2a₂=2sina₂cosa₂=sina₂，∴sina₂（2cosa₂-1）=0，
∵0＜a₁＜

π

2

，0＜d＜

π

2

，∴0＜a₂＜π，∴sina₂≠0，∴cosa2=

1

2

，∴a2=

π

3

，
∵cos（a₃-a₁）=cosa₂，∴cos2d=cos

π

3

，∴d=

π

6

，∴a1=

π

6

，∴an=

π

6

+(n-1)•

π

6

=

nπ

6

，∴數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式為an=

nπ

6

．
（2）∵Sn=

n(a1+an)

2

=

n(n+1)π

12

，∴bn=

Sn

(n+1)•2n-1

=

πn

6•2n

=

π

6

•

n

2n

，
∴Tn=

π

6

(

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+4•

1

24

++n•

1

2n

)①，

1

2

Tn=

π

6

[

1

22

+2•

1

23

+3•

1

24

+4•

1

25

++(n-1)•

1

2n

+n•

1

2n+1

]②，
①-②得

1

2

Tn=

π

6

(

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

++

1

2n

-n•

1

2n+1

)=

π 12 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

nπ

6

•

1

2n+1

=

π

6

(1-

1

2n

)-

nπ

6

•

1

2n+1

，
∴Tn=

π

3

-

(n+2)π

3•2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，通項(xiàng)公式的求法，對(duì)于等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積形式的數(shù)列一般采取錯(cuò)位相減的辦法求前n項(xiàng)和．