已知y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)是二次函數(shù),其圖象與x軸交于A(1,0)、B(3,0),與y軸交于C(0,6)
(1)求y=f(x),(x∈R)的解析式;
(2)若方程f(x)-2a+2=0有四個不同的實數(shù)根,試求a的取值范圍.

解:(1)依題意可設(shè),當(dāng)x≥0時,f(x)=a(x-1)(x-3)…1
由f(0)=6得:3a=6,
∴a=2,…2
此時f(x)=2(x-1)(x-3)=2x2-8x+6(x≥0)…3
當(dāng)x<0時,-x>0,則f(-x)=2x2+8x+6…4
又∵f(x)是偶函數(shù)
∴f(-x)=f(x)
∴f(x)=2x2+8x+6(x<0)
…6
(2)依題意:f(x)=2a-2有四個不同實數(shù)根,
即y=f(x)與y=2a-2在同一坐標(biāo)系中的圖象有四個不同的交點,

如圖可知只需滿足條件
-2<2a-2<6
∴0<a<4
即實數(shù)a的取值范圍是(0,4)…12
分析:(1)根據(jù)已知,可設(shè)出x≥0時,f(x)的交點式,結(jié)合與y軸交點坐標(biāo),可求出x≥0時函數(shù)的解析式,進(jìn)而根據(jù)偶函數(shù)滿足f(-x)=f(x)求出當(dāng)x<0時函數(shù)的解析式,可得y=f(x),(x∈R)的解析式;
(2)若方程f(x)-2a+2=0有四個不同的實數(shù)根,即y=f(x)與y=2a-2在同一坐標(biāo)系中的圖象有四個不同的交點,畫出函數(shù)的圖象,數(shù)形結(jié)合可得答案.
點評:本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的解析式的求法,根的存在性及根的個數(shù)判斷,根據(jù)函數(shù)的奇偶性及二次函數(shù)解析式的求法,求出函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
的定義域為(0,+∞),且f(2)=2+
2
2
.設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點,過點P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)求a的值.
(2)問:|PM|•|PN|是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請說明理由.
(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點,求四邊形OMPN面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x+
5x
的定義域為(0,+∞).設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點,過點P分別作直線y=2x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)|PM|•|PN|是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由;
(2)設(shè)點O為坐標(biāo)原點,求四邊形OMPN面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x+
ax
的定義域為(0,+∞),a>0且當(dāng)x=1時取得最小值,設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點,過點P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)求a的值;
(2)問:PM•PN是否為定值?若是,則求出該定值,若不是,請說明理由;
(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點,求四邊形OMPN面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A,B,若m變化時,AB的長度是一個定值,則AB的值是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-ax+b存在極值點.
(1)求a的取值范圍;
(2)過曲線y=f(x)外的點P(1,0)作曲線y=f(x)的切線,所作切線恰有兩條,切點分別為A、B.
(。┳C明:a=b;
(ⅱ)請問△PAB的面積是否為定值?若是,求此定值;若不是求出面積的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案