Question

（2011•嘉定區(qū)三模）已知k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，函數(shù)f（x）=a^x+k•b^x．
（1）如果實(shí)數(shù)a、b滿足a＞1，ab=1，試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）設(shè)a＞1＞b＞0，k≤0，判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性并加以證明；
（3）若a=2，b=

1

2

，且k＞0，問函數(shù)f（x）的圖象是不是軸對(duì)稱圖形？如果是，求出函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸；如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件，將b=

1

a

代入函數(shù)表達(dá)式，得f（x）=a^x+k•a^-x，再利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，用比較系數(shù)的方法，得出函數(shù)奇偶性的兩種不同情況；
（2）因?yàn)閍＞1，0＜b＜1，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的定理，可得函數(shù)y=a^x是增函數(shù)，y=b^x減函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)算法則，得出函數(shù)f（x）=a^x+k•b^xR上的是增函數(shù)，最后用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明；
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）=2^x+k•2^-x的圖象是軸對(duì)稱圖形且對(duì)稱軸是直線x=m，則函數(shù)f（x+m）是偶函數(shù)，即得到即對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（m-x）=f（m+x），代入表達(dá)式，采用比較系數(shù)法，可得2^m-k•2^-m=0，最終求出m=

1

2

log2k．

解答：解：（1）由已知，b=

1

a

，于是f（x）=a^x+k•a^-x，則f（-x）=a^-x+k•a^x，…（1分）
若f（x）是偶函數(shù)，則f（x）=f（-x），即a^x+k•a^-x=a^-x+k•a^x，
所以（k-1）（a^x-a^-x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，所以k=1．…（3分）
若f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），即a^-x+k•a^x=-（a^x+k•a^-x），
所以（k+1）（a^x+a^-x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，所以k=-1．…（5分）
綜上，當(dāng)k=1時(shí)，f（x）是偶函數(shù)；
當(dāng)k=-1時(shí)，f（x）奇函數(shù)，
當(dāng)k≠±1，f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．…（6分）
（2）因?yàn)閍＞1，0＜b＜1，所以函數(shù)y=a^x是增函數(shù)，y=b^x減函數(shù)，
由k≤0知，y=a^x+k•b^x是增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在R是增函數(shù)．…（8分）
證明如下：
設(shè)x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，
則f(x2)-f(x1)=ax2+k•bx2-ax1-k•bx1=(ax2-ax1)+k(bx2-bx1)
因?yàn)閍＞1，0＜b＜1，x₁＜x₂，k≤0，
所以ax2-ax1＞0，k(bx2-bx1)≥0，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以函數(shù)f（x）在R是增函數(shù)．…（11分）
（3）f（x）=2^x+k•2^-x，若函數(shù)f（x）的圖象是軸對(duì)稱圖形，
且對(duì)稱軸是直線x=m，則函數(shù)f（x+m）是偶函數(shù)，
即對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（m-x）=f（m+x），…（14分）
2^m-x+k•2^-（m-x）=2^m+x+k•2^-（m+x），
化簡得（2^x-2^-x）（2^m-k•2^-m）=0，…（16分）
因?yàn)樯鲜綄?duì)任意x∈R成立，
所以2^m-k•2^-m=0，m=

1

2

log2k．…（17分）
所以，函數(shù)f（x）的圖象是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是直線x=

1

2

log2k．…（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道函數(shù)綜合題，屬于難題．著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性和函數(shù)圖象的對(duì)稱性，解題時(shí)要注意有關(guān)定義和結(jié)論的正確理解與準(zhǔn)確應(yīng)用．