Question

通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，專家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的注意力著老師講課時間的變化而變化，講課開始時，學(xué)生的興趣激增；中間有一段時間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，設(shè)f（t）表示學(xué)生注意力隨時間t（分鐘）的變化規(guī)律（f（t）越大，表明學(xué)生注意力越集中），經(jīng)過實驗分析得知：f（t）=

-t2+24t+100，0＜t≤10 240，10＜t≤20 -7t+380，20＜t≤40

．
（1）講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？
（2）講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘比較，何時學(xué)生的注意力更集中？
（3）一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到180，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，教師能否在學(xué)生達(dá)到所需的狀態(tài)下講授完這道題目？

Answer 1

分析：（1）分類討論：①當(dāng)0＜t≤10時，②當(dāng)20＜t≤40時，分別求出各段上函數(shù)的最大值，從而得出講課開始多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中；
（2）欲比較講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘，何時學(xué)生的注意力更集中，只須分別求得函數(shù)值f（5）和f（25）比較它們的大小即可；
（3）分兩種情形：①當(dāng)0＜t≤10時，②當(dāng)20＜t≤40時，函數(shù)值為180對應(yīng)的t值，則可計算出學(xué)生注意力在180以上所持續(xù)的時間
即可看出是否經(jīng)過適當(dāng)安排，老師可以在學(xué)生達(dá)到所需要的狀態(tài)下講授完這道題．

解答：解：（1）當(dāng)0＜t≤10時，f（t）=-t²+24t+100
=-（t-12）²+244是增函數(shù)，且f（10）=240；
當(dāng)20＜t≤40時，f（t）=-7t+380是減函數(shù)，
且f（20）=240．
所以，講課開始10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘．
（2）f（5）=195，f（25）=205，
故講課開始25分鐘時，學(xué)生的注意力比講課開始后5分鐘更集中．
（3）當(dāng)0＜t≤10時，f（t）=-t²+24t+100=180，則t=4；
當(dāng)20＜t≤40時，令f（t）=-7t+380=180，
t≈28.57，則學(xué)生注意力在180以上所持續(xù)的時間
28.57-4=24.57＞24，
所以，經(jīng)過適當(dāng)安排，老師可以在學(xué)生達(dá)到所需要的狀態(tài)下講授完這道題．

點評：構(gòu)造二次函數(shù)模型，函數(shù)解析式求解是關(guān)鍵，解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．