Question

【題目】如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，EF∥AD，F(xiàn)A⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD于點P

（1）證明：PF∥面ECD；
（2）求二面角B﹣EC﹣A的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取CD中點G，連結(jié)EG、PG，

∵點P為矩形ABCD對角線交點，

∴在△ACD中，PG AD，

又EF=1，AD=2，EF∥AD，∴EF PG，

∴四邊形EFPG是平行四邊形，

∴FP∥EG，

又FP平面ECD，EG平面ECD，

∴FP∥平面ECD．

（2）解：由題意，以AB所在直線為x軸，

AD所在直線為y軸，AF所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，

則F（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），E（0，1，1），

∴ =（0，2，0）， =（1，1，﹣1）， =（1，2，0），

取FB中點H，連結(jié)AH，則 =（ ），

∵ =0， =0，

∴AH⊥平面EBC，

故取平面AEC法向量為 =（ ），

設(shè)平面AEC的法向量 =（x，y，1），

則 ，∴ =（2，﹣1，1），

cos＜ ＞= = = ，

∴二面角B﹣EC﹣A的大小為 ．

【解析】（1）取CD中點G，連結(jié)EG、PG，推導出四邊形EFPG是平行四邊形，由此能證明FP∥平面ECD．（2）以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AF所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣A的大小．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．