Question

已知復(fù)數(shù)z滿足：|z+1|+|z-1|=2

2

．
（Ⅰ）求復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)在相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系中形成的曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），過(guò)點(diǎn)F₁的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)求模,直線的一般式方程,軌跡方程

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（I）利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式和橢圓的定義即可得出；
（II）設(shè)直線l的方程為x=my-1．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓的方程聯(lián)立可得（2+m²）y²-2my-1=0，利用根與系數(shù)關(guān)系和向量的坐標(biāo)運(yùn)算、模的計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（I）設(shè)z=x+yi（x，y∈R），∵復(fù)數(shù)z滿足：|z+1|+|z-1|=2

2

．∴

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=2

2

，
此式表示的是到兩個(gè)定點(diǎn)（1，0），（-1，0）的距離之和為定值2

2

，且2

2

＞2，
可知：復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)在相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系中形成的曲線C是橢圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1．
（II）設(shè)直線l的方程為x=my-1．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立

x=my-1 x2+2y2=2

，化為（2+m²）y²-2my-1=0，
y₁+y₂=

2m

2+m2

，y1y2=-

1

2+m2

．
∴x₁+x₂-2=m（y₁+y₂）-4=

2m2

2+m2

-4=

-2m2-8

2+m2

．
∴

F2M

+

F2N

=（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₂）=（x₁+x₂-2，y₁+y₂）=(

-2m2-8

2+m2

，

2m

2+m2

)．
∵|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

，
∴

( -2m2-8 2+m2 )2+( 2m 2+m2 )2

=

2 26

3

，
化為17m⁴+23m²-40=0．
解得m²=1，∴m=±1．
∴直線l的方程為x=±y-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式、橢圓的定義、直線與與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、模的計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．