Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，P、Q是橢圓C上的兩個動點，M(1，

6

2

)是橢圓上一定點，F(xiàn)是其左焦點，且PF、MF、QF成等差數(shù)列．
（1）求橢圓C的方程；
（2）判斷線段PQ的垂直平分線是否經(jīng)過一個定點，若定點存在，求出定點坐標；若不經(jīng)過定點，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由離心率為

2

2

及點M(1，

6

2

)在橢圓上，建立方程組，求得幾何量，即可求得橢圓的標準方程；
（2）利用橢圓的第二定義，結(jié)合|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列，求得P，Q橫坐標之間的關(guān)系，再分類討論，確定線段PQ的垂直平分線，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由離心率為

2

2

及點M(1，

6

2

)在橢圓上，
可得

c a = 2 2 1 a2 + 3 2 b2 =1 a2=b2+c2

，∴a²=4，b²=2，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

2

=1…（4分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則由橢圓的第二定義可得|PF|=2+

2

2

x₁，|QF|=2+

2

2

x₂，|MF|=2+

2

2

，
∵|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列，∴2|MF|=|PF|+|QF|，∴2（2+

2

2

）=4+

2

2

（x₁+x₂），∴x₁+x₂=2…（10分）
①當x₁≠x₂時，∵x12+2y12=4，x22+2y22=4，
∴兩式相減，整理可得

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

•

x1+x2

y1+y2

設(shè)線段PQ的中點為N（1，n），∴PQ的斜率為-

1

2n

，
∴線段PQ的中垂線方程為y-n=2n（x-1）
∴（2x-1）n-y=0，∴該直線恒過定點A（

1

2

，0）；
②當x₁=x₂時，P（1，-

6

2

），Q（1，

6

2

）或Q（1，-

6

2

），P（1，

6

2

）
∴線段PQ的中垂線是x軸，也過點A（

1

2

，0）．
綜上，線段PQ的垂直平分線過點A（

1

2

，0）．…（16分）

點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)，考查橢圓的第二定義，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．