已知橢圓:,離心率為,焦點過的直線交橢圓于兩點,且的周長為4.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ) 直線與y軸交于點P(0,m)(m0),與橢圓C交于相異兩點A,B且.若,求m的取值范圍。
(Ⅰ) ;(Ⅱ)
解析試題分析:(1)設C:(A>b>0),由條件知A-C=,由此能導出C的方程.(Ⅱ)由題意可知λ=3或O點與P點重合.當O點與P點重合時,m=0.當λ=3時,直線l與y軸相交,設l與橢圓C交點為A(x1,y1),B(x2,y2),得再由根的判別式和韋達定理進行求解.
試題解析:(1)設C:(A>b>0),設C>0,,由條件知A-C=,,∴A=1,b=C=,故C的方程為:;
(Ⅱ)設與橢圓C的交點為A(,),B(,)。將y=kx+m代入
得,所以①,
.因為,所以,
消去得,所以,
即,當時,
所以,由①得,解得
考點:1、直線與圓錐曲線的綜合問題;2、向量在幾何中的應用.
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如圖,已知圓心坐標為的圓與軸及直線均相切,切點分別為、,另一圓與圓、軸及直線均相切,切點分別為、.
(1)求圓和圓的方程;
(2)過點作的平行線,求直線被圓截得的弦的長度;
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已知橢圓過點,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點且斜率為()的直線與橢圓相交于兩點,直線、分別交直線 于、兩點,線段的中點為.記直線的斜率為,求證: 為定值.
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(本小題滿分12分)已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并與圓N內切,圓心P的軌跡為曲線 C
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點,當圓P的半徑最長時,求|AB|.
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已知是橢圓的右焦點,圓與軸交于兩點,是橢圓與圓的一個交點,且
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)過點與圓相切的直線與的另一交點為,且的面積為,求橢圓的方程
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點P是橢圓外的任意一點,過點P的直線PA、PB分別與橢圓相切于A、B兩點。
(1)若點P的坐標為,求直線的方程。
(2)設橢圓的左焦點為F,請問:當點P運動時,是否總是相等?若是,請給出證明。
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已知橢圓的離心率為,且過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點C(-1,0)且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點,試問在軸上是否存在點,使是與無關的常數?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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已知點是橢圓:上一點,分別為的左右焦點,,的面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設,過點作直線,交橢圓異于的兩點,直線的斜率分別為,證明:為定值.
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在矩形ABCD中,|AB|=2,|AD|=2,E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點,以HF、GE所在直線分別為x,y軸建立直角坐標系(如圖所示).若R、R′分別在線段0F、CF上,且.
(Ⅰ)求證:直線ER與GR′的交點P在橢圓:+=1上;
(Ⅱ)若M、N為橢圓上的兩點,且直線GM與直線GN的斜率之積為,求證:直線MN過定點.
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