Question

3．在△AOB上，點P為邊AB上的一點，且|$\overrightarrow{AP}$|=2|$\overrightarrow{PB}$|．
（1）試用$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{OP}$；
（2）若|$\overrightarrow{OA}$|=3，|$\overrightarrow{OB}$|=2，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，求$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件及圖形即可得到$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，所以$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=2（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}）$，求出$\overrightarrow{OP}$即可；
（2）帶入上面求得的$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AB}$換上$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$進行數(shù)量積的運算即可．

解答 解：（1）如圖可知，$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$；
∴$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=2（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}）$；
∴$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$；
（2）$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}=（\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}）•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$=$-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}-\frac{1}{3}{\overrightarrow{OA}}^{2}+\frac{2}{3}{\overrightarrow{OB}}^{2}$=-1-3+$\frac{8}{3}$=$-\frac{4}{3}$．

點評 考查共線向量基本定理，數(shù)乘的幾何意義，向量減法的幾何意義，以及數(shù)量積的計算公式．