Question

如圖，圓柱OO₁內(nèi)有一個三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑．
（1）證明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（2）設AB=AA₁，在圓柱OO₁內(nèi)隨機選取一點，記該點取自于三棱柱ABC-A1B₁C₁內(nèi)的概率為P．當點C在圓周上運動時，記平面A₁ACC₁與平面B₁OC所成的角為θ（0°＜θ≤90°），當P取最大值時，求cosθ的值．

Answer 1

分析：（1）欲證平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁，關鍵是找線面垂直，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理知BC⊥平面A₁ACC₁；
（2）根據(jù)AC²+BC²=AB²為定值可求出V₁的最大值，從而得到P=

V1

V

的最大值，P取最大值時，OC⊥AB，于是以O為坐標原點，建立空間直角坐標系O-xyz，求出平面A₁ACC₁的一個法向量與平面B₁OC的一個法向量，然后求出兩法向量的夾角從而得到二面角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）因為AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以AA₁⊥BC，
因為AB是圓O直徑，所以BC⊥AC，又AC∩AA₁=A，所以BC⊥平面A₁ACC₁，
而BC?平面B₁BCC₁，所以平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）設圓柱的底面半徑為r，則AB=AA₁=2r，故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為V1=

1

2

AC•BC•2r=AC•BC•r，又因為AC²+BC²=AB²=4r²，
所以AC•BC≤

AC2+BC2

2

=2r²，當且僅當AC=BC=

2

r時等號成立，
從而V₁≤2r³，而圓柱的體積V=πr²•2r=2πr³，
故P=

V1

V

≤

2r3

2πr3

=

1

π

，當且僅當AC=BC=

2

r，即OC⊥AB時等號成立，
所以P的最大值是

1

π

．
P取最大值時，OC⊥AB，于是以O為坐標原點，
建立空間直角坐標系O-xyz，設OB為y軸的正半軸，OC為x軸正半軸，OO₁為z軸的正半軸，
則C（r，0，0），B（0，r，0），B₁（0，r，2r），
因為BC⊥平面A₁ACC₁，所以

BC

=(r，-r，0)是平面A₁ACC₁的一個法向量，
設平面B₁OC的法向量

n

=(x，y，z)，由

n ⊥ OC n ⊥ OB1

得

rx=0 ry+2rz=0

，故

x=0 y=-2z

，
取z=1得平面B₁OC的一個法向量為

n

=(0，-2，1)，因為0°＜θ≤90°，
所以cosθ=|cos?

n

，

BC

＞|=|

n • BC

| n |•| BC |

|=|

2r

5 • 2 r

|=

10

5

．

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、必然與或然思想．