(2012•梅州一模)如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+y2=1(a>1)的上頂點為A,右焦點為F,直線AF與圓M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)不過點A的動直線l與橢圓C相交于PQ兩點,且
AP
AQ
=0.求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標.
分析:(Ⅰ)確定圓M的圓心與半徑,利用直線AF與圓M相切,根據(jù)點到直線的距離公式,求得幾何量,從而可求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設直線AP的方程為y=kx+1,則直線AQ的方程為y=-
1
k
x+1(k≠0)
,分別與橢圓C的方程聯(lián)立,求得P、Q的坐標,可得直線l的方程,即可得到結(jié)論.
解答:(Ⅰ)解:將圓M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化為標準方程(x-3)2+(y-1)2=3,
圓M的圓心為M(3,1),半徑r=
3

由A(0,1),F(xiàn)(c,0)(c=
a2-1
),得直線AF:
x
c
+y=1,即x+cy-c=0,
由直線AF與圓M相切,得
|3+c-c|
c2+1
=
3
,∴c2=2
∴a2=c2+1=3,∴橢圓C的方程為C:
x2
3
+y2=1;
(Ⅱ)證明:∵
AP
AQ
=0,∴AP⊥AQ,從而直線AP與坐標軸不垂直,
由A(0,1)可設直線AP的方程為y=kx+1,則直線AQ的方程為y=-
1
k
x+1(k≠0)

將y=kx+1代入橢圓C的方程,整理得:(1+3k2)x2+6kx=0,
解得x=0或x=-
6k
1+3k2
,因此P的坐標為(-
6k
1+3k2
,-
6k2
1+3k2
+1),
即P(-
6k
1+3k2
,
1-3k2
1+3k2

將上式中的k換成-
1
k
,得Q(
6k
3+k2
,
k2-3
k2+3

∴直線l的斜率為
k2-3
k2+3
-
1-3k2
1+3k2
6k
3+k2
+
6k
1+3k2
=
k2-1
4k

直線l的方程為y=
k2-1
4k
(x-
6k
3+k2
)+
k2-3
k2+3

化簡得直線l的方程為y=
k2-1
4k
x-
1
2
,因此直線l過定點N(0,-
1
2
).
點評:本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查橢圓的標準方程,考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系,考查韋達定理的運用,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
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