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已知函數f（x）=x2-2x-2
（Ⅰ）用定義法證明：函數f（x）在區(qū)間（-∞，1]上是減函數；
（Ⅱ）若函數g（x）=f（x）-mx是偶函數，求m的值．
分析：（Ⅰ）設-∞＜x1＜x2≤1，計算 f（x1）-f（x2）的結果等于（x1-x2 ）（x1+x2-2），可得f（x1）＞f（x2），從而判斷函數f（x）在區(qū)間（-∞，1]上是減函數．
（Ⅱ）因為函數g（x）=f（x）-mx=x2-（2+m）x-2，g（x）是偶函數，從而得到2+m=0，由此求得m的值．
解答：解：（Ⅰ）設-∞＜x1＜x2≤1，…（2分）
所以，f（x1）-f（x2）=（x12-2x1-2）-（x22-2x2-2）=（x1-x2 ）（x1+x2-2），…（4分）
因為-∞＜x1＜x2，所以，x1-x2＜0，x1+x2-2＜0，
所以，f（x1）-f（x2）＞0，…（6分）
所以，f（x1）＞f（x2），
所以函數f（x）在區(qū)間（-∞，1]上是減函數．…（8分）
（Ⅱ）因為函數g（x）=f（x）-mx=x2-（2+m）x-2，…（10分）
又因為g（x）是偶函數，2+m=0，
∴m=-2．  …（12分）
點評：本題主要考查函數的單調性和奇偶性的判斷及證明，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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