Question

已知函數(shù)f(x)=2msin2x-2

3

msinxcosx+n，（m＞0）的定義域為[0，

π

2

]，值域為[-5，4]．
（1）求m、n的值；
（2）若將函數(shù)y=f（x），x∈R的圖象按向量

a

平移后關(guān)于原點中心對稱，求向量

a

的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先利用輔助角公式進(jìn)行化簡整理，然后討論m的正負(fù)，根據(jù)x的范圍建立方程組，從而可求出所求；
（2）根據(jù)（1）分別求出函數(shù)的對稱中心，從而可求出向量

a

的坐標(biāo)．

解答：解：（1）f(x)=-

3

msin2x-mcos2x+m+n=-2msin(2x+

π

6

)+m+n，
x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]⇒sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，（4分）
∵m＞0，∴f（x）_max=-2m(-

1

2

)+m+n=4，f（x）_min=-m+n=-5
解得m=3，n=-2，
（2）令sin(2x+

π

6

)=0，解得x=

kπ

2

-

π

12

，(k∈Z)，
當(dāng)m=3，n=-2時，f(x)=-6sin(2x+

π

6

)+1，

a

=(

kπ

2

+

π

12

，-1)，k∈Z．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，以及平面向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和計算能力，屬于中檔題．