Question

已知直線l：y=kx+m交拋物線C：x²=4y于相異兩點(diǎn)A，B．過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)兩切線交于M點(diǎn)．
（I）若M（2，-1），求直線l的方程；  （Ⅱ）若|AB|=4，求△ABM面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線的切線的斜率，求出兩條切線的方程，聯(lián)立得到交點(diǎn)坐標(biāo)即為M，列出方程得到k=，m．
（II）將直線的方程代入拋物線的方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式表示出|AB|，利用三角形的面積公式將三角形的面積表示成關(guān)于k的函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)的最大值得到三角形的最大值．

解答：解：（I）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
則y1=

x 2 1

4

，y2=

x 2 2

4

∵y=

x2

4

，
∴y′=

x

2

∴切線方程：y-y1=

x1

2

(x-x1)，y-y2=

x2

2

(x-x2)
兩式聯(lián)立且有y1=

x 2 1

4

，y2=

x 2 2

4

，
可得

x0= x1+x2 2 y0= x1x2 4

①
將y=kx+m代入x²=4y得x²-4kx-4m=0
由題可知△=16（k²+m）＞0且x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m
∴x₀=2k，y₀=-2m
即M（2k，-2m）
當(dāng)M（2，-1）時(shí)，則2k=2，-2m=-1
∴k=1，m=

1

2

∴直線l的方程為y=x+

1

2

（Ⅱ）∵|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

16(k2+m)

=4
∴

1+k2

k2+m

=1M到AB的距離為h=

|2k2+2m|

1+k2

=

2(k2+m)

1+k2

∴
△ABM面積S=

1

2

|AB|•h=4

k2+m

1+k2

=4

1

(1+k2) 3 2

≤4
當(dāng)k=0時(shí)，△ABM面積的最大值為4．

點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有關(guān)的問(wèn)題，一般的思路是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理來(lái)找突破口．