Question

【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且焦距為4

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）設(shè)為直線上一點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn).以為直徑的圓恒過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).

(i)求的取值范圍

(ii)是否存在圓心在原點(diǎn)的定圓恒與直線相切？若存在，求出該定圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）(i)(ii)存在；定圓的方程

【解析】

（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合關(guān)系，即可求解；

（2）(i)設(shè)，由已知有，可得代入橢圓方程，將用表示，進(jìn)而求出關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)特征求出最值；

(ii)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線的距離是否為定值，先求出直線方程，求出坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離，利用(i)中關(guān)系將用表示，整理即可得出結(jié)論.

（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程得，

解得，

所以橢圓C的方程為

（2）設(shè).

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，

所以，即

因?yàn)?/span>點(diǎn)在橢圓上，所以；

(i)將代入橢圓，得

于是

因?yàn)?/span>

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).

所以的取值范圍為

(ii)存在.定圓的方程為.

假設(shè)存在滿足題意的定圓，則點(diǎn)到直線的距離為定值.

因?yàn)?/span>，所以直線方程為

，

整理可得

所以到直線的距離

由(i)知，，得.

，

注意到，知

所以

又

，

所以，

因此，直線與圓恒相切.