【題目】如圖,已知三棱錐P-ABC中,ACB=90°,CB=4,AB=20,D為AB中點(diǎn),M為PB中點(diǎn),且PDB是正三角形,PAPC。

.

(1)求證:DM平面PAC;

(2)求證:平面PAC平面ABC;

(3)求三棱錐M-BCD的體積

【答案】(1)詳見解析,(2)詳見解析,(3)

【解析】

試題分析:(1)證線面平行找線線平行,本題有中點(diǎn)條件,可利用中位線性質(zhì).即DMAP,寫定理?xiàng)l件時需完整,因?yàn)槿羧鄙貲M面APC,,則DM可能在面PAC內(nèi),若缺少AP面APC,則DM與面PAC位置關(guān)系不定.(2)證面面垂直關(guān)鍵找線面垂直.可由面面垂直性質(zhì)定理探討,因?yàn)锽C垂直AC,而AC為兩平面的交線,所以應(yīng)有BC垂直于平面PAC,這就是本題證明的首要目標(biāo).因?yàn)锽C垂直AC,因此只需證明BC垂直平面PAC另一條直線.這又要利用線面垂直與線線垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化.首先將題目中等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為垂直條件,即DMPB,從而有PAPB,而PAPC,所以PA面PBC,因此PABC.(3)求錐的體積關(guān)鍵找出高,有(2)有PA面PBC,因此DM為高,利用體積公式可求得

試題解析:(1)D為AB中點(diǎn),M為PB中點(diǎn)

DMAP

DM面APC,AP面APC

DM面PAC

(2)PDB是正三角形,M為PB中點(diǎn)

DMPB,又DMAP,PAPB

PAPC,PBPC=P,PA面PBC

BC面PBC,PABC

ACB=90°,BCAC

ACPA=A,BC面PAC

BC面ABC,面PAC面ABC

(3)AB=20,D為AB中點(diǎn),AP面PBC

PD=10

PDB為正三角形,DM=5

BC=4,PB=10,PC=2

SPBC=

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組數(shù)

分組

低碳族的人數(shù)

占本組的頻率

第一組

120

0.6

第二組

195

第三組

100

0.5

第四組

0.4

第五組

30

0.3

第六組

15

0.3

(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖并求的值(直接寫結(jié)果);

(2)從年齡段在低碳族中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗(yàn)活動,其中選取2人作為領(lǐng)隊(duì),求選取的2名領(lǐng)隊(duì)中至少有1人年齡在歲的概率.

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