Question

15．已知a≥1，函數(shù)f（x）=（sinx-a）（a-cosx）+$\sqrt{2}$a．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，π]內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=$g（t）=-\frac{{{t^2}-1}}{2}+t-1+\sqrt{2}=-\frac{1}{2}{（t-1）^2}+\sqrt{2}$，t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域．
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式f（x）=$h（u）=-\frac{{{u^2}-1}}{2}+au-{a^2}+\sqrt{2}a=-\frac{1}{2}{（u-a）^2}-\frac{1}{2}{a^2}+\frac{1}{2}+\sqrt{2}a$，在$[-1，1）∪\{\sqrt{2}\}$內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在$[1，\sqrt{2}）$上無(wú)零點(diǎn)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=（sinx-1）（1-cosx）+\sqrt{2}$=$-sinxcosx+sinx+cosx-1+\sqrt{2}$，
令t=sinx+cosx，則$t∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]，sinxcosx=\frac{{{t^2}-1}}{2}$，f（x）=$g（t）=-\frac{{{t^2}-1}}{2}+t-1+\sqrt{2}=-\frac{1}{2}{（t-1）^2}+\sqrt{2}$．
當(dāng)t=1時(shí)，$g{（t）_{max}}=\sqrt{2}$，當(dāng)$t=-\sqrt{2}$時(shí)，$g{（t）_{min}}=-\frac{3}{2}$．
所以，f（x）的值域?yàn)?[-\frac{3}{2}，\sqrt{2}]$．
（2）$f（x）=（sinx-a）（a-cosx）+\sqrt{2}a$=$-sinxcosx+a（sinx+cosx）-{a^2}+\sqrt{2}a$，
令u=sinx+cosx，則當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，$u∈[-1，\sqrt{2}]，sinxcosx=\frac{{{u^2}-1}}{2}$，
f（x）=$h（u）=-\frac{{{u^2}-1}}{2}+au-{a^2}+\sqrt{2}a=-\frac{1}{2}{（u-a）^2}-\frac{1}{2}{a^2}+\frac{1}{2}+\sqrt{2}a$，
f（x）在[0，π]內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于h（u）在$[-1，1）∪\{\sqrt{2}\}$內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在$[1，\sqrt{2}）$上無(wú)零點(diǎn)．
因?yàn)閍≥1，所以h（u）在[-1，1）內(nèi)為增函數(shù)．
①若h（u）在[-1，1）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，$[1，\sqrt{2}]$內(nèi)無(wú)零點(diǎn)．
故只需$\left\{{\begin{array}{l}{h（1）＞0}\\ \begin{array}{l}h（-1）≤0\\ h（\sqrt{2}）＞0\end{array}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{-{a^2}+（\sqrt{2}+1）a＞0}\\ \begin{array}{l}-{a^2}+（\sqrt{2}-1）a≤0\\-{a^2}+2\sqrt{2}a-\frac{1}{2}＞0\end{array}\end{array}}\right.$，求得$1≤a＜\sqrt{2}+1$．
②若$\sqrt{2}$為h（u）的零點(diǎn)，$[-1，\sqrt{2}）$內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，則$-{a^2}+2\sqrt{2}a-\frac{1}{2}=0$，得$a=\sqrt{2}±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
經(jīng)檢驗(yàn)，$a=\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{6}}}{2}$符合題意．
綜上：$1≤a＜\sqrt{2}+1$或$a=\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)零點(diǎn)的判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．