Question

已知函數(shù)f（x）=a+bsin2x+ccos2x（x∈R）的圖象過點A（0，1），B（

π

4

，1），且b＞0，又f（x）的最大值為2

2

-1．
（Ⅰ）將f（x）寫成含Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜x）的形式；
（Ⅱ）由函數(shù)y=f（x）圖象經(jīng)過平移是否能得到一個奇函數(shù)y=g（x）的圖象？若能，請寫出平移的過程；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用已知條件可得

a+c=1 a+b=1 a+ b2+c2 =2 2 -1

，解得a、b、c的值，即可得到f（x）滿足條件的解析式．
（Ⅱ）根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=a+bsin2x+ccos2x=a+

b2+c2

sin(2x+φ)，tanφ=

c

b

，
由題意，可得

a+c=1 a+b=1 a+ b2+c2 =2 2 -1

，解得

a=-1 b=2 c=2

．
∴f(x)=-1+2sin2x+cos2x=2

2

sin(2x+

π

4

)-1．
（Ⅱ）將f（x）的圖象向上平移1個單位得到函數(shù)f(x)=2

2

sin(2x+

π

4

)的圖象，
再向右平移

π

8

單位得到y=2

2

sin2x的圖象，而函數(shù)y=2

2

sin2x為奇函數(shù)，
故將f（x）的圖象先向上平移1個單位，再向右平移

π

8

單位就可以得到奇函數(shù)y=g（x）的圖象．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．