Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋aln(x＋1)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x2.

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)a＝時(shí)，判斷方程f(x)＝－的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）0<a<（2）方程f(x)＝－有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

【解析】(1)由f(x)＝x2＋aln(x＋1)，可得f′(x)＝2x＋ (x>－1)．

令g(x)＝2x2＋2x＋a(x>－1)，則其對(duì)稱軸為x＝－.由題意可知x1，x2是方程g(x)＝0的兩個(gè)均大于－1的不相等的實(shí)數(shù)根，其充要條件為解得0<a< .

(2)由a＝可知x1＝－，x2＝－，從而易知函數(shù)y＝f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

①由y＝f(x)在上單調(diào)遞增，且f＝＋·ln＝－ln 2>－，以及f＝＋·ln＝－－＋<－，故方程f(x)＝－在有且只有一個(gè)實(shí)根；

②由于y＝f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此f(x)在上的最小值f＝＋·ln＝＋ln>－，故方程f(x)＝－在上沒(méi)有實(shí)數(shù)根．

綜上可知，方程f(x)＝－有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根