Question

已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R）
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數f（x）的圖象在點（2，f）處切線的傾斜角為45°，且對于任意的t∈[1，2]，函數g(x)=x3+x2(f′(x)+

m

2

)在區(qū)間（t，3）上總不為單調函數，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）f/(x)=

a(1-x)

x

(x＞0)，
a＞0時，f（x）在（0，1]上單調遞增，在[1，+∞）單調遞減；
a＜0時，f（x）在（0，1]上單調遞減，在[1，+∞）單調遞增；
a=0時，f（x）不是單調函數．
（2）由f′（2）=1得a=-2，所以f（x）=-2lnx+2x-3，則g(x)=x3+(

m

2

+2)x2-2x，
故g′（x）=3x²+（m+4）x-2
因為g（x）在（t，3）上總不是單調函數，且g′（0）=-2，
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

．
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
綜上，

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

?-

37

3

＜m＜-9．
m的取值范圍為：-

37

3

＜m＜-9．