Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，動(dòng)點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）求以為直徑且被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；

（Ⅲ）設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)與以為直徑的圓交于點(diǎn)，證明：線(xiàn)段的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）線(xiàn)段的長(zhǎng)為定值.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率，且過(guò)點(diǎn)，解方程組得：

， ，所以橢圓方程為．（Ⅱ）以根據(jù)平面幾何得知識(shí)，利用弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑構(gòu)成直角三角形可求半徑． （Ⅲ）過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足設(shè)為，由平面幾何知： ,根據(jù)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系得： ，所以線(xiàn)段的長(zhǎng)為定值．

試題解析：（Ⅰ）由題意得，①

因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，②

又，③

由①②③解得， ，

所以橢圓方程為．

（Ⅱ）以為直徑的圓的圓心為，半徑，

方程為，

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為2，

所以圓心到直線(xiàn)的距離．

所以，解得，

所求圓的方程為．

（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足設(shè)為，由平面幾何知： ．

則直線(xiàn)： ，直線(xiàn)： ，

由得，

∴，

所以線(xiàn)段的長(zhǎng)為定值．