【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PCD，，，，E為AD的中點，AC與BE相交于點O.

（1）證明：平面ABCD.

（2）求直線BC與平面PBD所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）通過證明平面，得到，再證即可證得平面ABCD.

（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量、直線的方向向量，利用空間向量法求出線面角的正弦值.

（1）證明：平面PCD，平面，，

，為的中點，則且.

四邊形BCDE為平行四邊形，，.

又，且E為AD的中點，四邊形ABCE為正方形，，又平面，

平面，則.

平面平面，，

又，為等腰直角三角形，

O為斜邊AC上的中點，且平面ABCD.

（2）解：以O為坐標原點，建立空間直角坐標系O-xyz，如圖所示

不妨設，則,

則.

設平面PBD的法向量為，

則即

即

令，得.

設BC與平面所成角為，

則.

練習冊系列答案
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【題目】已知F為拋物線焦點，A為拋物線C上的一動點，拋物線C在A處的切線交y軸于點B，以FA、FB為鄰邊作平行四邊形FAMB.

（1）證明：點M在一條定直線上；

（2）記點M所在定直線為l，與y軸交于點N，MF與拋物線C交于P，Q兩點，求的面積的取值范圍.

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（2）若過點作互相垂直的兩條直線，，與拋物線交于，兩點，與拋物線交于，兩點，，分別為弦，的中點，求的最小值.

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【題目】已知橢圓的離心率，為橢圓的右焦點，，為橢圓的上、下頂點，且的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）動直線與橢圓交于，兩點，證明：在第一象限內存在定點，使得當直線與直線的斜率均存在時，其斜率之和是與無關的常數(shù)，并求出所有滿足條件的定點的坐標．

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【題目】一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，設棋子跳到第n站的概率為，一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次．若擲出奇數(shù)點，棋子向前跳一站；若擲出偶數(shù)點，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站(獲勝)或第100站(失敗)時，游戲結束(骰子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個面分別標有點數(shù)1，2，3，4，5，6)．

(1)求，，，并根據棋子跳到第n站的情況，試用和表示；

(2)求證：為等比數(shù)列；

(3)求玩該游戲獲勝的概率．

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【題目】醫(yī)院為篩查某種疾病，需要血檢，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：

方式一：逐份檢驗，需要檢驗次；

方式二：混合檢驗，把每個人的血樣分成兩份，取個人的血樣各一份混在一起進行檢驗，如果結果是陰性，那么對這個人只作一次檢驗就夠了；如果結果是陽性，那么再對這個人的另一份血樣逐份檢驗，此時這份血液的檢驗次數(shù)總共為次.

（1）假設有6份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗的方式，求恰好經過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗岀來的概率；

（2）假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是相互獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為.現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.

①運用概率統(tǒng)計的知識，若，試求關于的函數(shù)關系式；

②若，且采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少，求的最大值.

參考數(shù)據：，，.

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【題目】已知是雙曲線的左右焦點，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點，與雙曲線交于點，且均在第一象限，當直線時，雙曲線的離心率為，若函數(shù)，則（）

A. 1 B. C. 2 D.

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【題目】橢圓：中，，，，的面積為1，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設是橢圓上一點，、是橢圓的左右兩個焦點，直線、分別交于、，是否存在點，使，若存在，求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．

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【題目】改編自中國神話故事的動畫電影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一個月的時間，票房收入就超過了38億元，創(chuàng)造了中國動畫電影的神話.小明和同學相約去電影院觀看《哪吒之魔童降世》，影院的三個放映廳分別在7：30，8：00，8：30開始放映，小明和同學大約在7：40至8：30之間到達影院，且他們到達影院的時間是隨機的，那么他們到達后等待的時間不超過10分鐘的概率是（ ）

A.B.C.D.

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