Question

11．設(shè)異面直線a，b所成角為θ，點P為空間一點（P不在直線a，b上），有以下命題
①過點P存在唯一平面與異面直線a，b都平行
②若θ=$\frac{π}{2}$，則過點P且與a，b都垂直的直線有且僅有1條．
③若θ=$\frac{π}{3}$，則過點P且與a，b都成$\frac{π}{3}$直線有且僅有3條．
④若過點P且與a，b都成$\frac{π}{3}$直線有且僅有4條，則θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）．
⑤若過點P且與a，b都成$\frac{π}{3}$直線有且僅有2條，則θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）．
其中正確命題的序號是①②③⑤（請?zhí)钌纤�有正確命題的序號）

Answer 1

分析 根據(jù)異面直線a與b所成的角，P為空間一點，過P分別作直線a，b的平行線，得到∠APB=θ，過P點作直線c，d分別是角∠APB的平分線和面APB的垂線，這時c與a，b所成角為$\frac{θ}{2}$，d與a，b所成角為90°，然后直線從c轉(zhuǎn)到直線d的過程中一定經(jīng)過30°、50°、60°、70°的角，可求出直線的條數(shù)．

解答 解：對于以①，只要過P分別作直線a，b的平行線，a'，b'，則a'與b'相交，確定一個平面，根據(jù)線面平行的判定，直線a，b與此平面平行；故①正確；
對于②，因為過一點與已知平面垂直的直線只有一條，過P分別作直線a，b的平行線，a'，b'，則a'與b'相交，確定一個平面，過P與此平面垂直的直線只有一條；故②正確；
對于③，過P作a′∥a，b′∥b，設(shè)直線a′、b′確定的平面為α，異面直線a、b成60°角，直線a′、b′所成銳角為60°，過點P與a′、b′都成60°角的直線，可以作3條；故③正確；
對于④∵異面直線a，b成角為θ，過空間一定點P作直線l與a，b成角都為$\frac{π}{3}$的直線有4條，
∴過空間一定點P作直線a′∥a，b′∥b．
則直線a′與b′相交形成4個角，大小分別為θ，π-θ，θ，π-θ．
∵過空間一定點P作直線l與a，b成角都為$\frac{π}{3}$的直線有4條，
∴$\left\{\begin{array}{l}{θ＜\frac{2π}{3}}\\{π-θ＜\frac{2π}{3}}\end{array}\right.$
∴$\frac{π}{3}＜θ＜\frac{2π}{3}$，
又∵0＜θ≤$\frac{π}{2}$
∴θ的取值范圍為（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]；故命題④錯誤；
對于⑤，若過點P且與a，b都成$\frac{π}{3}$直線有且僅有2條，∴過空間一定點P作直線a′∥a，b′∥b．
則直線a′與b′相交形成4個角，大小分別為θ，π-θ，θ，π-θ．
∵過空間一定點P作直線l與a，b成角都為$\frac{π}{3}$的直線有2條，則θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）．故⑤正確；
故答案為：①②③⑤

點評 本題考查異面直線所成的角，以及解決異面直線所成的角的方法（平移法）的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和運動變化的思想方法