Question

17．已知函數(shù)f（x）=2cos（$\frac{π}{3}$-$\frac{1}{2}$x）．
（1）求f（x）在區(qū)間[0，2π]上的值域；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，2π]上的單調(diào)減區(qū)間；
（3）若f（x）向右移φ個單位得到函數(shù)g（x），g（x）滿足g（x）≤g（$\frac{2π}{3}$），求φ．

Answer 1

分析 （1）由條件利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的定義域、值域，求得f（x）在區(qū)間[0，2π]上的值域．
（2）由條件利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的增區(qū)間．
（3）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律、余弦函數(shù)的最大值，求得φ的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2cos（$\frac{π}{3}$-$\frac{1}{2}$x）=2cos（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$），∵x∈[0，2π]，
∴$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，cos（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，∴f（x）∈[-1，2]．
（2）令2kπ≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，求得 4kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{8π}{3}$，k∈Z，
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[4kπ+$\frac{2π}{3}$，4kπ+$\frac{8π}{3}$]，k∈Z．
再結(jié)合x∈[0，2π]，可得f（x）的增區(qū)間為[$\frac{2π}{3}$，2π]．
（3）f（x）向右移φ個單位得到函數(shù)g（x）=2cos[$\frac{1}{2}$（x-φ）-$\frac{π}{3}$]=2cos（$\frac{1}{2}$x-$\frac{φ}{2}$-$\frac{π}{3}$），
且g（x）滿足g（x）≤g（$\frac{2π}{3}$），∴$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{3}$-$\frac{φ}{2}$-$\frac{π}{3}$=2kπ，k∈Z，
故 φ=-4kπ，k∈Z．

點評 本題主要考查誘導(dǎo)公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性和最值，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．