【題目】已知函數(shù)，且.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，求證：函數(shù)有且只有一個零點.

【答案】（1）見解析;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）通過導(dǎo)函數(shù)當(dāng)和時的正負(fù)來確定原函數(shù)的增減區(qū)間；

(2) 通過證明函數(shù)單調(diào)并且猜出函數(shù)的一個根，從而證明函數(shù)有且只有一個零點.

試題解析：

（1），，

當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，由得，由得，

即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（2）證明：由已知得，則，

設(shè)，則 ，

故為上的增函數(shù)，

又由于，因此且有唯一零點1，

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

函數(shù)有且只有一個零點.

點晴:本題主要考查導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)中的應(yīng)用. 解答此類問題，應(yīng)該首先確定函數(shù)的定義域，否則，寫出的單調(diào)區(qū)間易出錯. 解決含參數(shù)問題及不等式問題注意兩個轉(zhuǎn)化：(1)利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化為含參不等式的求解問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．(2)函數(shù)有且只有一個零點通常是證明函數(shù)單調(diào)并且猜出函數(shù)的一個根，從而證明函數(shù)有且只有一個零點.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此做了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：

零件的個數(shù)x/個

2

3

4

5

加工的時間y/h

2.5

3

4

4.5

(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；

(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線；

(3)試預(yù)測加工10個零件需要多少時間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）判斷函數(shù)在和的單調(diào)性，并用定義證明在上的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且時， ，

①當(dāng)時，寫出的表達(dá)式；

②若函數(shù)有四個零點，寫出的取值范圍（不需要說明理由）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分別是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中點.求證：

(1)直線BC1∥平面EFPQ.

(2)直線AC1⊥平面PQMN.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)通過調(diào)查問卷（滿分50分）的形式對本企業(yè)900名員工的工作滿意度進(jìn)行調(diào)查，并隨機(jī)抽取了其中30名員工（其中16名女員工，14名男員工）的得分，如下表：

女

47 36 32 48 34 44 43 47 46 41 43 42 50 43 35 49

男

37 35 34 43 46 36 38 40 39 32 48 33 40 34

（Ⅰ）現(xiàn)求得這30名員工的平均得分為40.5分，若規(guī)定大于平均得分為“滿意”，否則為“不滿意”，請完成下列表格：

“滿意”的人數(shù)

“不滿意”的人數(shù)

合計

女

16

男

14

合計

30

（Ⅱ）根據(jù)上述表中數(shù)據(jù)，利用獨立性檢驗的方法判斷，能否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為該企業(yè)員工“性別”與“工作是否滿意”有關(guān)？

參考數(shù)據(jù)：

0.10

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

參考公式：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】.如圖，在三棱錐V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，則下列結(jié)論中不一定成立的是　(　　)

A. AC=BC

B. VC⊥VD

C. AB⊥VC

D. S△VCD·AB=S△ABC·VO

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓： 過橢圓： ()的短軸端點， ， 分別是圓與橢圓上任意兩點，且線段長度的最大值為3．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點作圓的一條切線交橢圓于， 兩點，求的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】小五、小一、小節(jié)、小快、小樂五位同學(xué)站成一排，若小一不出現(xiàn)在首位和末位，小五、小節(jié)、小樂中有且僅有兩人相鄰，求能滿足條件的不同排法共有多少種？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知每一項都是正數(shù)的數(shù)列滿足， ．

（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明： ；

（2）證明： ；

（3）記為數(shù)列的前項和，證明： ．

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