【題目】已知函數(shù),
且
.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,求證:函數(shù)
有且只有一個零點.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)通過導(dǎo)函數(shù)當(dāng)
和
時的正負(fù)來確定原函數(shù)的增減區(qū)間;
(2) 通過證明函數(shù)單調(diào)并且猜出函數(shù)的一個根,從而證明函數(shù)有且只有一個零點.
試題解析:
(1),
,
當(dāng)時,
,則
在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,由
得
,由
得
,
即在區(qū)間
上單調(diào)遞減,在區(qū)間
上單調(diào)遞增.
(2)證明:由已知得,則
,
設(shè),則
,
故為
上的增函數(shù),
又由于,因此
且
有唯一零點1,
當(dāng)時,
;當(dāng)
時,
.
在
上為減函數(shù),在
上為增函數(shù),
函數(shù)
有且只有一個零點.
點晴:本題主要考查導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)中的應(yīng)用. 解答此類問題,應(yīng)該首先確定函數(shù)的定義域,否則,寫出的單調(diào)區(qū)間易出錯. 解決含參數(shù)問題及不等式問題注意兩個轉(zhuǎn)化:(1)利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化為含參不等式的求解問題,要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.(2)函數(shù)有且只有一個零點通常是證明函數(shù)單調(diào)并且猜出函數(shù)的一個根,從而證明函數(shù)有且只有一個零點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此做了四次試驗,得到的數(shù)據(jù)如下表所示:
零件的個數(shù)x/個 | 2 | 3 | 4 | 5 |
加工的時間y/h | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程,并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線;
(3)試預(yù)測加工10個零件需要多少時間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
).
(1)判斷函數(shù)在
和
的單調(diào)性,并用定義證明
在
上的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)是定義域為
的偶函數(shù),且
時,
,
①當(dāng)時,寫出
的表達(dá)式;
②若函數(shù)有四個零點,寫出
的取值范圍(不需要說明理由).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分別是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中點.求證:
(1)直線BC1∥平面EFPQ.
(2)直線AC1⊥平面PQMN.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)通過調(diào)查問卷(滿分50分)的形式對本企業(yè)900名員工的工作滿意度進(jìn)行調(diào)查,并隨機(jī)抽取了其中30名員工(其中16名女員工,14名男員工)的得分,如下表:
女 | 47 36 32 48 34 44 43 47 46 41 43 42 50 43 35 49 |
男 | 37 35 34 43 46 36 38 40 39 32 48 33 40 34 |
(Ⅰ)現(xiàn)求得這30名員工的平均得分為40.5分,若規(guī)定大于平均得分為“滿意”,否則為“不滿意”,請完成下列表格:
“滿意”的人數(shù) | “不滿意”的人數(shù) | 合計 | |
女 | 16 | ||
男 | 14 | ||
合計 | 30 |
(Ⅱ)根據(jù)上述表中數(shù)據(jù),利用獨立性檢驗的方法判斷,能否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為該企業(yè)員工“性別”與“工作是否滿意”有關(guān)?
參考數(shù)據(jù):
0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
參考公式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】.如圖,在三棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,則下列結(jié)論中不一定成立的是 ( )
A. AC=BC
B. VC⊥VD
C. AB⊥VC
D. S△VCD·AB=S△ABC·VO
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓:
過橢圓
:
(
)的短軸端點,
,
分別是圓
與橢圓
上任意兩點,且線段
長度的最大值為3.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點作圓
的一條切線交橢圓
于
,
兩點,求
的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小五、小一、小節(jié)、小快、小樂五位同學(xué)站成一排,若小一不出現(xiàn)在首位和末位,小五、小節(jié)、小樂中有且僅有兩人相鄰,求能滿足條件的不同排法共有多少種?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知每一項都是正數(shù)的數(shù)列滿足
,
.
(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明: ;
(2)證明: ;
(3)記為數(shù)列
的前
項和,證明:
.
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