Question

7．下列四種說法：
①函數y=$\frac{{x}^{2}-x+4}{x-1}$（x＞1）的最小值為5；
②等差數列{a_n}中，a₁，a₃，a₄成等比數列，則公比為$\frac{1}{2}$；
③已知a＞0，b＞0，a+b=1，則$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值為5+2$\sqrt{6}$；
④方程x²+ax+2b=0的兩個實數根為x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2，則$\frac{b-2}{a-1}$的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，1）．
其中正確的命題為①③④（填上所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析 根據基本不等式，可判斷①③；根據常數列也滿足條件，可判斷②；利用線性規(guī)劃，可判斷④

解答 解：當x＞1時，x-1＞0，
∴y=$\frac{{x}^{2}-x+4}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}$+1=5，故①正確；
等差數列{a_n}中，a₁，a₃，a₄成等比數列，
則a₃²=a₁•a₄，即（a₁+2d）²=a₁•（a₁+3d），
解得：a₁=-4d，或d=0，
則公比為$\frac{1}{2}$或1，
故②錯誤；
a＞0，b＞0，a+b=1，則$\frac{2}{a}+\frac{3}$=（$\frac{2}{a}+\frac{3}$）（a+b）=（$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}$）+5≥5+2$\sqrt{6}$；
故③正確；
令f（x）=x²+ax+2b，若方程x²+ax+2b=0的兩個實數根為x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2，
則$\left\{\begin{array}{l}f（0）＞0\\ f（1）＜0\\ f（2）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2b＞0\\ a+2b+1＜0\\ 2a+2b+4＞0\end{array}\right.$，
表示的平面區(qū)域Ω如圖所示：

$\frac{b-2}{a-1}$表示平面區(qū)域Ω內一點（為包含邊界）與（1，2）點連線的斜率，
故$\frac{b-2}{a-1}$的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，1）．
故④正確；
故答案為：①③④

點評 本題考查的知識點是基本不等式，線性規(guī)劃，等差數列與等比數列，難度中檔．