Question

已知橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E，過橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC∥x軸，求證直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn)。

Answer 1

證明：依設(shè)，得橢圓的半焦距c=1，右焦點(diǎn)為F(1，0)，右準(zhǔn)線方程為x=2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，0)，
EF的中點(diǎn)為N(，0)，
若AB垂直于x軸，則A（1，y₁），B（1，-y₁），C（2，-y₁），
∴AC中點(diǎn)為N(，0)，即AC過EF中點(diǎn)N；
若AB不垂直于x軸，由直線AB過點(diǎn)F，且由BC∥x軸知點(diǎn)B不在x軸上，
故直線AB的方程為y=k（x-1），k≠0，
記A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），則C（2，y₂）且x₁，x₂滿足二次方程，
即（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，
∴，
又x₁²=2-2y₁²＜2，得x₁-≠0，
故直線AN，CN的斜率分別為，
∴k₁-k₂=2k·，
∵（x₁-1）-（x₂-1）（2x₁-3）=3（x₁+x₂）-2x₁x₂-4=，
∴k₁-k₂=0，即k₁=k₂，
故A、C、N三點(diǎn)共線；
所以，直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn)N。