Question

7．已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax-（1+a⁴）x³的圖象與x軸交于點(diǎn)（c，0），其中c＞0．若S（a）=${∫}_{0}^{c}$f（x）dx．
（1）求S′（a）；
（2）函數(shù)S（x）是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用定積分計(jì)算公式，可得S（a），求出導(dǎo)數(shù)即可；
（2）由S（x）求出導(dǎo)數(shù)，注意定義域，求得單調(diào)區(qū)間和極值，進(jìn)而得到最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax-（1+a⁴）x³的圖象與x軸交于點(diǎn)（c，0），
即有ac-（1+a⁴）c³=0，即為a=（1+a⁴）c²，
S（a）=${∫}_{0}^{c}$f（x）dx=（$\frac{1}{2}$ax²-$\frac{1}{4}$（1+a⁴）x⁴）|${\;}_{0}^{c}$═$\frac{1}{2}$ac²-$\frac{1}{4}$（1+a⁴）c⁴，
則S′（a）=$\frac{1}{2}$c²-a³c⁴；
（2）由S（x）=$\frac{1}{2}$xc²-$\frac{1}{4}$（1+x⁴）c⁴，x＞0．
S′（x）=$\frac{1}{2}$c²-x³c⁴，
當(dāng)0＜x＜$\root{3}{\frac{1}{2{c}^{2}}}$時(shí)，S′（x）＞0，S（x）遞增；
當(dāng)x＞$\root{3}{\frac{1}{2{c}^{2}}}$時(shí)，S′（x）＜0，S（x）遞減．
即有x=$\root{3}{\frac{1}{2{c}^{2}}}$時(shí)，S（x）取得極大值，也為最大值，
且為$\frac{3}{8}$•$\root{3}{\frac{{c}^{4}}{2}}$-$\frac{1}{4}$c⁴．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．