【題目】將三棱錐與拼接得到如圖所示的多面體，其中，，，分別為，，，的中點，.

（1）當點在直線上時，證明：平面；

（2）若與均為面積為的等邊三角形，求該多面體體積的最大值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）利用面面平行的判定定理得出平面平面，再由面面平行的性質得出平面；

（2）將多面體的體積轉化為三棱錐與的體積和，由于三棱錐和的底面積一定，則高同時達到最大值時，多面體的體積最大，當平面平面時，由面面垂直的性質得出三棱錐和的高，利用棱錐的體積公式計算即可.

（1）證明：∵、、為中點

∴，

又∵

∴

∵平面，平面

∴平面

同理平面

平面

∴平面平面

∵，∴平面

∴平面

（2）

易知平面

故

連接，當平面平面時

∵是的中點

∴在正三角形、中

，，平面與平面的交線為

平面，平面

∴平面，平面

∴平面

此時，三棱錐和的高同時達到最大值

此時

由，是面積為的正三角形

可得

，

∴此時.

故該多面體體積的最大值為.

練習冊系列答案
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線（）與橢圓交于，兩點（點在軸的上方）.

（1）若，求的面積；

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（2）直線不過曲線的右焦點，與交于兩點，且與圓相切，切點在第一象限， 的周長是否為定值？并說明理由.

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【題目】某市一次全市高中男生身高統(tǒng)計調查數(shù)據(jù)顯示：全市10萬名男生的身高服從正態(tài)分布.現(xiàn)從某學校高中男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于160cm和190cm之間，將身高的測量結果按如下方式分成5組：第1組[160,166)，第2組[166，172)，...，第5組[184，190]下表是按上述分組方法得到的頻率分布表：

分組

[160，166)

[166，172)

[172，178)

[178，184)

[184，190]

人數(shù)

3

10

24

10

3

這50個數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別比10萬個數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差多1和6.68，且這50個數(shù)據(jù)的方差為.(同組中的身高數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)：

(1)求，；

(2)給出正態(tài)分布的數(shù)據(jù)：，.

(i)若從這10萬名學生中隨機抽取1名，求該學生身高在(169,179)的概率；

(ii)若從這10萬名學生中隨機抽取1萬名，記為這1萬名學生中身高在(169，184)的人數(shù)，求的數(shù)學期望.

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【題目】已知圓經過兩點，，且圓心在直線：上．

（1）求圓的方程；

（2）設圓與軸相交于、兩點，點為圓上不同于、的任意一點，直線、交軸于、點．當點變化時，以為直徑的圓是否經過圓內一定點？請證明你的結論．

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【題目】某商場對職工開展了安全知識競賽的活動,將競賽成績按照,,… ,分成組,得到下面頻率分布直方圖.根據(jù)頻率分布直方圖.下列說法正確的是( )

①根據(jù)頻率分布直方圖估計該商場的職工的安全知識競賽的成績的眾數(shù)估計值為;

②根據(jù)頻率分布直方圖估計該商場的職工的安全知識競賽的成績的中位數(shù)約為;

③若該商場有名職工,考試成績在分以下的被解雇,則解雇的職工有人;

④若該商場有名職工,商場規(guī)定只有安全知識競賽超過分(包括分)的人員才能成為安全科成員,則安全科成員有人.

A.①③B.②③C.②④D.①④

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【題目】某地區(qū)實施“光盤行動”以后,某自助啤酒吧也制定了自己的行動計劃,進店的每一位客人需預交元,啤酒根據(jù)需要自己用量杯量取,結賬時,根據(jù)每桌剩余酒量,按一定倍率收費(如下表),每桌剩余酒量不足升的,按升計算(如剩余升,記為剩余升).例如:結賬時,某桌剩余酒量恰好為升,則該桌的每位客人還應付元.統(tǒng)計表明飲酒量與人數(shù)有很強的線性相關關系,下面是隨機采集的組數(shù)據(jù)(其中表示飲酒人數(shù),(升)表示飲酒量):,,,,.

剩余酒量(單位:升)

升以上(含升)

結賬時的倍率

（1）求由這組數(shù)據(jù)得到的關于的回歸直線方程;

（2）小王約了位朋友坐在一桌飲酒,小王及朋友用量杯共量取了升啤酒,這時,酒吧服務生對小王說,根據(jù)他的經驗,小王和朋友量取的啤酒可能喝不完,可以考慮再邀請位或位朋友一起來飲酒,會更劃算.試向小王是否該接受服務生的建議？

參考數(shù)據(jù):回歸直線的方程是,其中,.

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【題目】已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且當時，，其中是常數(shù).

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（2）求實數(shù)的值，使得函數(shù)，的最小值為；

（3）已知函數(shù)滿足：對任何不小于的實數(shù)，都有，其中為不小于的正整數(shù)常數(shù)，求證：.

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【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（Ⅰ）求直方圖中a的值；

（Ⅱ）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；

（Ⅲ）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準（噸），估計的值，并說明理由.

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