Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₆-a₁=5，a₂+a₅=7，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n=2b_n-1（n≥2），數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n．
（1）求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和公式S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件分別求出等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入c_n=a_n•b_n求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯位相減法求數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₆-a₁=5，a₂+a₅=7，
∴

5d=5 2a1+5d=7

，解得a₁=d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n=2b_n-1（n≥2），
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴bn=2n-1．
則c_n=a_n•b_n=n•2^n-1；
（2）∵c_n=n•2^n-1，
∴數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和S_n=1•2⁰+2•2¹+…+n•2^n-1 ①
2Sn=1•21+2•22+…+n•2n ②
①-②得：-Sn=1+2+22+…+2n-1-n•2n．
=

1-2n

1-2

-n•2n=2n-1-n•2n．
∴Sn=n•2n-2n+1．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．