Question

14．已知a=${∫}_{0}^{2}$（$\frac{2}{5}$x²-$\frac{x}{5}$）dx，則（$\frac{3}{2}$ax-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）¹⁰的展開式中有理項(xiàng)共有6項(xiàng)．

Answer 1

分析 求定積分可得a的值，在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)為整數(shù)，求出r的值，即可得出結(jié)論．

解答 解：a=${∫}_{0}^{2}$（$\frac{2}{5}$x²-$\frac{x}{5}$）dx=（ $\frac{2}{15}$x³-$\frac{1}{10}$x²） ${|}_{0}^{2}$=$\frac{2}{3}$，
∴（$\frac{3}{2}$ax-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）¹⁰ =（x-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）¹⁰，
∴（x-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）¹⁰的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{10}^{r}$•（-2）^r•${x}^{10-\frac{3r}{2}}$．
再根據(jù)10-$\frac{3r}{2}$為整數(shù)，可得r=0，2，4，6，8，10，共計(jì)6項(xiàng)，
故答案為：6．

點(diǎn)評 本題主要考查求定積分，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．