Question

已知f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+3x+2，若當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，n≤f（x）≤m恒成立，則m-n的最小值為________．

Answer 1

分析：先在區(qū)間[-1，-3]，研究二次函數(shù)f（x）=x²+3x+2，得到它的最小值為f（-）=-，最大值為f（-3）=2，然后根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，得到當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，，從而區(qū)間[-2，]⊆[n，m]，得到m-n的最小值為．
解答：∵當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+3x+2，，
∴當(dāng)x∈[-1，-3]時(shí)，在[-3，-]上，函數(shù)為減函數(shù)，在[-，-1]上為增函數(shù)
可得f（x）在[-1，-3]上的最小值為f（-）=
最大值為f（-3）=（-3）²-3×3+2=2
∴當(dāng)x∈[-1，-3]時(shí)，
又∵y=f（x）是奇函數(shù)，
∴當(dāng)1≤x≤3，時(shí)-f（x）=f（-x）∈[]
即
∵當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，n≤f（x）≤m恒成立
∴區(qū)間[-2，]⊆[n，m]?m-n
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題以基本初等函數(shù)為載體，考查了函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值和函數(shù)恒成立問題等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．