Question

設(shè)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若任意k∈R，有，則△ABC的形狀一定是

1. A.
   銳角三角形
2. B.
   直角三角形
3. C.
   鈍角三角形
4. D.
   不能確定

Answer 1

B
分析：由題意可得|-k |≥||，兩邊平方化簡(jiǎn)可得，關(guān)于k的不等式 a²•k²-2ac•cosB•k+c²-b²≥0恒成立，
由判別式△≤0 化簡(jiǎn)可得 sin²B≥，再由正弦定理求得 sin²C≥1，故有sinC=1，C=，由此得出結(jié)論．
解答：∵O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若任意k∈R，有，即|-k |≥||．
設(shè)△ABC的三邊分別為a、b、c，把不等式|-k |≥||兩邊平方可得：
+k² -2k≥，即 a²•k²-2ac•cosB•k+c²-b²≥0．
由于k為任意實(shí)數(shù)，故關(guān)于k的不等式 a²•k²-2ac•cosB•k+c²-b²≥0恒成立．
故判別式△=4a²c²cos²B-4a²（c²-b²）≤0，化簡(jiǎn)可得 sin²B≥．
再由正弦定理可得 sin²B≥，∴sin²C≥1．
由于C為△ABC的內(nèi)角，故0＜sinC≤1，故只有 sinC=1，∴C=．
故△ABC的形狀一定是直角三角形，
故選 B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，正弦定理的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．