Question

等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知對任意的n∈N⁺，點（n，S_n）均在函數(shù)y=2^x+r（r為常數(shù)）的圖象上，數(shù)列{b_n}對任意的n≥2的正整數(shù)均滿足2b_n=b_n+1+b_n-1，且b₁+a₁=3，b₅+a₅=22
（I）求r的值和數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）記cn=

bn

4an

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知得出sn=2n+r，求出{等比數(shù)列的定義得出r并確定{a_n}的通項公式
（II）數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且b₁+a₁=3，b₅+a₅=22，求出b₁=2，b₅=6，數(shù)列{b_n}的公差為d=1．b_n=2+（n-1）=n+1．
（III）cn=

bn

4an

=

n+1

2n+1

，應(yīng)用錯位相消法進(jìn)行求和．

解答：解：（I）因為對任意的n∈N⁺，點（n，S_n）均在函數(shù)y=2^x+r（r為常數(shù)）的圖象上．
所以得sn=2n+r，
當(dāng)n=1時，a₁=s₁=2+r，
當(dāng)n≥2時，an=sn-sn-1=2n+r-(2n-1+r)=2n-2n-1=2n-1
又因為{a_n}為等比數(shù)列，
所以r=-1，公比為2，
所以an=2n-1…..（5分）
（II）∵數(shù)列{b_n}對任意的n≥2的正整數(shù)均滿足2b_n=b_n+1+b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列
由于a₁=1，a₅=16，b₁+a₁=3，b₅+a₅=22，則b₁=2，b₅=6
∴數(shù)列{b_n}的公差為d=

b5-b1

5-1

=1，
∴b_n=2+（n-1）=n+1…（7分）    
（III）因為cn=

bn

4an

=

n+1

2n+1

則T_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…  +

n+1

2n+1

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+

4

25

+…  +

n

2n+1

+

n+1

2n+2

相減，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…  +

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 23 ×(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

所以T_n=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

- 

n+3

2n+1

…（12分）

點評：本題考查利用數(shù)列中a_n與S_n關(guān)系求數(shù)列通項，等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定，錯位相消法數(shù)列求和．需具有轉(zhuǎn)化、變形、計算能力．