Question

如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)B₁在底面ABC上的射影落在BC上，CA=CB=a，AB=．
（1）求證：AC⊥平面BCC₁B₁；
（2）當(dāng)BB₁與底面ABC所成的角為60°，且AB₁⊥BC₁時(shí)，求點(diǎn)B₁到平面AC₁的距離．

Answer 1

（1）證明：∵CA=CB=a，AB=，∴AB²=CA²+CB²，∴AC⊥BC
∵點(diǎn)B₁在底面ABC上的射影落在BC上，
∴側(cè)面BCC₁B₁⊥底面ABC，
∵側(cè)面BCC₁B₁∩底面ABC=BC
∴AC⊥平面BCC₁B₁；
（2）解：∵點(diǎn)B₁在底面ABC上的射影落在BC上，

∴∠B₁BC=60°
∵AC⊥平面BCC₁B₁
∴BC₁⊥AC
∵AB₁⊥BC₁，AB₁∩AC=A
∴BC₁⊥平面AB₁C
∴BC₁⊥B₁C
∵BCC₁B₁是平行四邊形，∴BCC₁B₁是菱形
∴△B₁BC是等邊三角形
取BC的中點(diǎn)D，連接B₁D，則B₁D⊥BC
∵側(cè)面BCC₁B₁⊥底面ABC，
∴B₁D⊥底面ABC，
∴B₁D為三棱柱的高，B₁D=，S_△ABC=
∴=
∴==
∵AC⊥平面BCC₁B₁
∴CC₁⊥AC
∴四邊形ACC₁A₁是邊長(zhǎng)為a的正方形
設(shè)點(diǎn)B₁到平面AC₁的距離為d，則有，∴d=
∴點(diǎn)B₁到平面AC₁的距離為．
分析：（1）先證明AC⊥BC，利用點(diǎn)B₁在底面ABC上的射影落在BC上，可得側(cè)面BCC₁B₁⊥底面ABC，從而可得AC⊥平面BCC₁B₁；
（2）先證明B₁BC是等邊三角形，取BC的中點(diǎn)D，連接B₁D，則B₁D為三棱柱的高，利用等體積可求點(diǎn)B₁到平面AC₁的距離．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查點(diǎn)到面的距離，掌握面面垂直的性質(zhì)，正確求體積是關(guān)鍵．