Question

圓心在直線y=x上，經(jīng)過原點，且在x軸上截得弦長為2的圓的方程為

1. A.
   （x-1）²+（y-1）²=2
2. B.
   （x-1）²+（y+1）²=2
3. C.
   （x-1）²+（y-1）²=2或（x+1）²+（y+1）²=2
4. D.
   （x-1）²+（y+1）²=2或（x+1）²+（y-1）²=2

Answer 1

C
分析：根據(jù)題意畫出圓的方程，使圓A滿足題意中的條件，分兩種情況考慮，當(dāng)點A在第一象限時，根據(jù)垂徑定理即可得到OC的長度，根據(jù)直線y=x上點的橫縱坐標(biāo)相等，得到圓心A的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出OA的長度即為圓A的半徑，根據(jù)求出的圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；當(dāng)點A′在第三象限時，同理可得圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
解答：解：畫出圓A滿足題中的條件，有兩個位置，
當(dāng)圓心A在第一象限時，過A作AC⊥x軸，又|OB|=2，
根據(jù)垂徑定理得到點C為弦OB的中點，則|OC|=1，由點A在直線y=x上，
得到圓心A的坐標(biāo)為（1，1），且半徑|OA|=，
則圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-1）²+（y-1）²=2；
當(dāng)圓心A′在第三象限時，過A′作A′C′⊥x軸，又|OB′|=2，
根據(jù)垂徑定理得到點C′為弦OB′的中點，則|OC′|=1，由點A′在直線y=x上，
得到圓心A′的坐標(biāo)為（-1，-1），且半徑|OA′|=，
則圓A′的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x+1）²+（y+1）²=2，
綜上，滿足題意的圓的方程為：（x-1）²+（y-1）²=2或（x+1）²+（y+1）²=2．
故選C
點評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用垂徑定理化簡求值，考查了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．需注意的事項是應(yīng)注意此題有兩解，不要遺漏．