【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的軌跡為.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）已知直線與圓相切于點(diǎn)，且與曲線相交于，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，求三角形面積的最大值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由題意知，可知軌跡為橢圓，寫出方程即可（Ⅱ）直線的斜率存在且不為0，利用直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出PQ中點(diǎn)N坐標(biāo)寫出PQ中垂線方程，利用圓心到直線的距離求出，化簡求其最值，代入三角形面積公式即可求解.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，

故，

所以，

故，

由題設(shè)得，由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為：.

（Ⅱ）由題意，直線的斜率存在且不為0，

設(shè)直線的方程為，

因?yàn)橹本€與圓相切，

所以，∴，

由消去得.

設(shè)，由韋達(dá)定理知：

.

所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以弦的垂直平分線方程為，

即 .

所以.

將代入得

（當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號）.

所以三角形的面積為，

綜上所述，三角形的面積的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（在第一象限），以為直徑的圓分別與軸相切于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B.

C.為拋物線上的動點(diǎn)，，則D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，，，，，，．

（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】研究機(jī)構(gòu)對某校學(xué)生往返校時間的統(tǒng)計資料表明：該校學(xué)生居住地到學(xué)校的距離（單位：千米）和學(xué)生花費(fèi)在上學(xué)路上的時間（單位：分鐘）有如下的統(tǒng)計資料：

到學(xué)校的距離（千米）

1.8

2.6

3.1

4.3

5.5

6.1

花費(fèi)的時間（分鐘）

17.8

19.6

27.5

31.3

36.0

43.2

如果統(tǒng)計資料表明與有線性相關(guān)關(guān)系，試求：

（1）判斷與是否有很強(qiáng)的線性相關(guān)性？

（相關(guān)系數(shù)的絕對值大于0.75時，認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，精確到0.01）

（2）求線性回歸方程（精確到0.01）；

（3）將分鐘的時間數(shù)據(jù)稱為美麗數(shù)據(jù)，現(xiàn)從這6個時間數(shù)據(jù)中任取2個，求抽取的2個數(shù)據(jù)全部為美麗數(shù)據(jù)的概率.

參考數(shù)據(jù)：，，，，

，

參考公式：，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于無窮數(shù)列，，若，，則稱是的“收縮數(shù)列”.其中，分別表示中的最大數(shù)和最小數(shù).已知為無窮數(shù)列，其前項(xiàng)和為，數(shù)列是的“收縮數(shù)列”.

（1）若，求的前項(xiàng)和；

（2）證明：的“收縮數(shù)列”仍是；

（3）若且，，求所有滿足該條件的.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】菜市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間購買二手房情況，首先隨機(jī)抽樣其中200名購房者，并對其購房面積（單位：平方米，）進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計，制成了如圖1所示的頻率分布南方匿，接著調(diào)查了該市2018年1月﹣2019年1月期間當(dāng)月在售二手房均價（單位：萬元/平方米），制成了如圖2所示的散點(diǎn)圖（圖中月份代碼1﹣13分別對應(yīng)2018年1月至2019年1月）．

（1）試估計該市市民的平均購房面積．

（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購房耐積位于的40位市民中隨機(jī)取4人，再從這4人中隨機(jī)抽取2人，求這2人的購房面積恰好有一人在的概率．

（3）根據(jù)散點(diǎn)圖選擇和兩個模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程，分別為和，并得到一些統(tǒng)計量的值，如表所示：

請利用相關(guān)指數(shù)判斷哪個模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預(yù)測2019年6月份的二手房購房均價（精確到）．

參考數(shù)據(jù)：，，，，,,,．參考公式：相關(guān)指數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）設(shè)是曲線上的一個動瞇，當(dāng)時，求點(diǎn)到直線的距離的最小值；

（2）若曲線上所有的點(diǎn)都在直線的右下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在上成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，某隧道的剖面圖是由半圓及矩形組成，交通部門擬在隧道頂部安裝通風(fēng)設(shè)備（視作點(diǎn)），為了固定該設(shè)備，計劃除從隧道最高點(diǎn)處使用鋼管垂直向下吊裝以外，再在兩側(cè)自兩點(diǎn)分別使用鋼管支撐.已知道路寬，設(shè)備要求安裝在半圓內(nèi)部，所使用的鋼管總長度為.

（1）①設(shè)，將表示為關(guān)于的函數(shù)；

②設(shè)，將表示為關(guān)于的函數(shù)；

（2）請選用（1）中的一個函數(shù)關(guān)系式，說明如何設(shè)計，所用的鋼管材料最��？

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