Question

（2013•宿遷一模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{an2}的前n項(xiàng)和為T_n，且(Sn-2)2+3Tn=4，n∈N^*．
（1）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并寫出通項(xiàng)公式；
（2）若Sn2-λTn＜0對(duì)n∈N^*恒成立，求λ的最小值；
（3）若an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，求正整數(shù)x，y的值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)?span id="izxtszv" class="MathJye">(Sn-2)2+3Tn=4，且a_n＞0，所以推出a₁=1，a2=

1

2

；由(Sn-2)2+3Tn=4，知(Sn+1-2)2+3Tn+1=4，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）得Sn=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2[1-(

1

2

)n]，Tn=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=

4

3

[1-(

1

4

)n]，由此能求出λ的最小值．
（3）若an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，其中x，y為正整數(shù)，則

1

2n-1

，

2x

2n

，

2y

2n+1

成等差數(shù)列，整理，得2^x=1+2^y-2，由此能求出正整數(shù)x，y的值．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="htuhghb" class="MathJye">(Sn-2)2+3Tn=4，
其中S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，T_n是數(shù)列{

a

2 n

}的前n項(xiàng)和，且a_n＞0，
當(dāng)n=1時(shí)，由(a1-2)2+3a12=4，
解得a₁=1，…（2分）
當(dāng)n=2時(shí)，由(1+a2-2)2+3(1+a22)=4，
解得a2=

1

2

； …（4分）
由(Sn-2)2+3Tn=4，
知(Sn+1-2)2+3Tn+1=4，
兩式相減得(Sn+1-Sn)(Sn+1+Sn-4)+3

a

2 n+1

=0，
即(Sn+1+Sn-4)+3

a

n+1

=0，…（5分）
亦即2S_n+1-S_n=2，從而2S_n-S_n-1=2，（n≥2），
再次相減得an+1=

1

2

an，(n≥2)，又a2=

1

2

a1，
所以

an+1

an

=

1

2

，(n≥1)
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，…（7分）
其通項(xiàng)公式為an=

1

2n-1

，n∈N^*．…（8分）
（2）由（1）可得Sn=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2[1-(

1

2

)n]，
首項(xiàng)為1，{a_n²}是一個(gè)公比為

1

4

的等比數(shù)列，
Tn=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=

4

3

[1-(

1

4

)n]，…（10分）
若Sn2-λTn＜0對(duì)n∈N^*恒成立，
只需λ＞

Sn2

Tn

=3×

1-( 1 2 )n

1+( 1 2 )n

=3-

6

2n+1

對(duì)n∈N^*恒成立，
∵3-

6

2n+1

＜3對(duì)n∈N^*恒成立，∴λ≥3．
（3）若an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，其中x，y為正整數(shù)，
則

1

2n-1

，

2x

2n

，

2y

2n+1

成等差數(shù)列，
整理，得2^x=1+2^y-2，
當(dāng)y＞2時(shí)，等式右邊為大于2的奇數(shù)，等式左邊為偶數(shù)或1，
等式不能成立，
∴滿足條件的正整數(shù)x，y的值為x=1，y=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明和數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查最小值的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．