Question

已知二次函數(shù)y=ax2+(b+

2

3

)x+c+3是偶函數(shù)且圖象經(jīng)過坐標原點，記函數(shù)f(x)=

x

•(ax2+bx+c)．
（I）求b、c的值；
（II）當a=

1

5

時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（III）試討論函數(shù)f（x）的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況．

Answer 1

分析：（1）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，則常數(shù)項為0，若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，故不難求出b，c的值．
（2）當a=

1

5

時，結(jié)合（1）的結(jié)論不難給出函數(shù)導函數(shù)的解析式，確定導函數(shù)的符號易得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（3）如果函數(shù)圖象上存在垂直于y軸的切線，則切點處的導數(shù)為0，結(jié)合導數(shù)即可求解．

解答：解：（I）∵y=ax2+(b+

2

3

)x+c+3是偶函數(shù)，
∴-

b+ 2 3

2a

=0，b=-

2

3

又∵圖象過原點，
∴c=-3
（II）當a=

1

5

時，
f′(x)=

1

2 x

(

1

5

x2-

2

3

x-3)+

x

(

2

5

x-

2

3

)=

1

2 x

(x2-2x-3)
令f′（x）＞0得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是（3，+∞），
令f′（x）＜0得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是（0，3），
（III）∵函數(shù)f（x）的圖象上垂直于y軸的切線，
∴方程f′（x）=0存在正根，
f′(x)=

1

2 x

(ax2-

2

3

x-3)+

x

(2ax-

2

3

)=

1

2 x

(5ax2-2x-3)
即5ax²-2x-3=0存在正根，△=4（1+15a）
①當a＜-

1

15

時，△＜0，方程5ax²-2x-3=0無實數(shù)根，
此時函數(shù)f（x）的圖象上沒有垂直于y軸的切線
②當a=-

1

15

時，△=0，方程5ax²-2x-3=0根為x=-3，
此時函數(shù)f（x）的圖象上存在一條垂直于y軸的切線
③當-

1

15

＜a＜0時，△＞0，方程5ax²-2x-3=0有兩個實數(shù)根x₁，x₂，x1+x2=

2

a

＜0，x1x2=-

3

a

＞0，方程5ax²-2x-3=0有兩個負實數(shù)根
此時函數(shù)f（x）的圖象上沒有垂直于y軸的切線
④a＞0時，△＞0，方程5ax²-2x-3=0有兩個實數(shù)根x₁，x₂x1+x2=

2

a

＞0，x1x2=-

3

a

＜0，方程5ax²-2x-3=0有兩一個正實數(shù)根和一個負實數(shù)根，此時函數(shù)f（x）的圖象上存在一條垂直于y軸的切線
綜上：
當a＜-

1

15

或-

1

15

＜a＜0時，不存在垂直于y軸的切線
當a=-

1

15

或a＞0時，存在一條垂直于y軸的切線

點評：待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的常用方法之一，當函數(shù)f（x）類型確定時，可用待定系數(shù)法．其解題步驟一般為：①根據(jù)函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)的解析式（其中系數(shù)待定）②根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于系數(shù)的方程（組）③解方程（組）確定各系數(shù)的值④將求出的系數(shù)值代入求出函數(shù)的解析式．