Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥x，且當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，有f（x）≤

1

8

（x+2）²成立．
（1）f（2）；
（2）若f（-2）=0，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式．
（3）在（2）的條件下，若關(guān)于x的不等式（4kx-1）²＜kx²的解集中整數(shù)恰好有2個(gè)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）≥x，可得f（2）≥2；又當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，有f（x）≤

1

8

（x+2）²成立，可得f（2）=4a+2b+c≤=2成立．從而得到f（2）=2．
（2）若f（-2）=0，可得b=

1

2

，c=1-4a．再由f（x）≥x恒成立可得ax²-

1

2

x+c≥0恒成立，可得 a＞0，△≤0．求得a、b、c的值，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（3）不等式等價(jià)于（4-k）x²-4x+1＜0，可得判別式△′=4k＞0，且 4-k＜0，解得 0＜k＜4，可得1、2一定是所求的整數(shù)解，由2＜

1

2- k

≤3，求得k的范圍．

解答： 解：（1）由f（x）≥x，可得f（2）≥2；
又當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，有f（x）≤

1

8

（x+2）²成立，可得f（2）=4a+2b+c≤

1

8

（4+2）²=2成立．
故有f（2）=2．
（2）若f（-2）=0，則由

4a+2b+c=2 4a-2b+c=0

 可得b=

1

2

，c=1-4a．
再由f（x）≥x恒成立可得ax²-

1

2

x+c≥0恒成立，∴a＞0，△=(

1

2

-1)2-4a（1-4a）≤0．
解得 a=

1

8

，b=c=

1

2

，f（x）=

1

8

x²+

1

2

x+

1

2

．
（3）在（2）的條件下，關(guān)于x的不等式（4kx-1）²＜kx² 等價(jià)于（4-k）x²-4x+1＜0，
它的解集中整數(shù)恰好有2個(gè)，
∴判別式△′=4k＞0，且 4-k＜0，解得 0＜k＜4．
又原不等式的解集為（

1

2+ k

，

1

2- k

），且

1

4

＜

1

2- k

＜

1

2

，則1、2一定是所求的整數(shù)解，
∴2＜

1

2- k

≤3，求得

9

4

＜k≤

25

9

，故k的范圍是（

9

4

，

25

9

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次不等式的解法，和書的零點(diǎn)和方程根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．