Question

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求的最小值；

（Ⅱ）若函數(shù)（， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，對(duì)于任意的，恒有成立，求的范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）先將函數(shù)單調(diào)遞減問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)非正恒成立問題，再根據(jù)一元二次不等式恒成立充要條件，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)區(qū)間端點(diǎn)值非正，最后解不等式可得的取值范圍，進(jìn)而確定的最小值；（Ⅱ）先將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題： ,利用導(dǎo)數(shù)可求得,轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)恒成立，易得.

試題解析：（Ⅰ）

所以在上恒成立

所以在上恒成立

令，所以

所以 ， ， 的最小值為

（Ⅱ），

由，則

化簡(jiǎn)得,解得 或

所以

當(dāng)時(shí)， ， 在單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)， ， 在單調(diào)遞減

又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，

，即對(duì)恒成立

因?yàn)?/span>,所以,所以