Question

已知直線x+y-1=0與橢圓（a＞b＞0）相交于A、B兩點(diǎn)，M是線段AB上的一點(diǎn)，=-，且點(diǎn)M在直線l：y=上，
（1）求橢圓的離心率；
（2）若橢圓的焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在單位圓x²+y²=1上，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由題中的直線方程與橢圓聯(lián)解消去y，得（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=，進(jìn)而得到y(tǒng)₁+y₂=，因此算出AB中點(diǎn)M（，），根據(jù)點(diǎn)M在直線y=上建立關(guān)系式得到a²=2b²，由此即可算出該橢圓的離心率的值；
（2）由（1）的結(jié)論，設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F（b，0）關(guān)于直線l：y=的對(duì)稱點(diǎn)為Q（x，y），根據(jù)PQ被直線l垂直且平分建立方程組，解之得到x=且y=，結(jié)合點(diǎn)Q在單位圓上，得到關(guān)于b的方程并解之得b=1，由此即可得到所求橢圓方程．
解答：解：設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
（ 1）由=-，可得M是AB的中點(diǎn)，…（1分）
由消去y，得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0…（4分）
∴x₁+x₂=，可得y₁+y₂=2-（x₁+x₂）=2-=…（5分）
因此，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）
又∵點(diǎn)M在直線l：y=上，∴=×…（6分）
化簡(jiǎn)得a²=2b²=2（a²-c²），可得a=，所以橢圓的離心率e==…（7分）
（2）由（1）得b=c，不妨設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（b，0）
設(shè)F（b，0）關(guān)于直線 l：y=的對(duì)稱點(diǎn)為Q（x，y），…（8分）
則，解之得：…（11分）
結(jié)合已知=1，可得，解之得b=1（舍負(fù)）…（13分）
因此，所求的橢圓的方程為…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出直線與橢圓相交，在已知截得弦的中點(diǎn)在定直線上時(shí)，求橢圓的方程，并依此求橢圓焦點(diǎn)關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn)在單位圓上的問(wèn)題．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求法和直線與圓錐曲線位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．