Question

17.如圖，過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）上一定點(diǎn)P（x₀,y₀）（y₀＞0）,作兩條直線分別交拋物線于A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）.

（Ⅰ）求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離；

（Ⅱ）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).

Answer 1

17.要考查直線、拋物線等基本知識(shí)，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

解：

（Ⅰ）當(dāng)y=時(shí)，x=.

又拋物線y²=2px的準(zhǔn)線方程為x=－,

由拋物線定義得所求距離為－（－）=.

（Ⅱ）設(shè)直線PA的斜率為k_PA,直線PB的斜率為k_PB

由                  y₁²=2px₁,y₀²=2px₀

相減得           （y₁－y₀）（y₁+y₀）=2p（x₁－x₀）,

故                  k_PA==（x₁≠x₀）.

同理可得              k_PB=（x₂≠x₀）.

由PA、PB傾斜角互補(bǔ)知k_PA=－k_PB,

即                  =－,

所以                     y₁+y₂=－2y₀,

故                  =－2.

設(shè)直線AB的斜率為k_AB.

由    y₂²=2px₂,y₁²=2px₁,

相減得           （y₂－y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂－x₁）,

所以                     k_AB==（x₁≠x₂）.

將                  y₁+y₂=－2y₀（y₀＞0）代入得

k_AB==－,所以k_AB是非零常數(shù).