Question

已知A、B是△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，且tanA、tanB是方程x²+mx+m+1=0的兩個(gè)實(shí)根，求m的取值范圍

Answer 1

分析：由tanA、tanB是方程x²+mx+m+1=0的兩個(gè)實(shí)根，結(jié)合韋達(dá)定理（一元二次方程根現(xiàn)系數(shù)關(guān)系）我們得到tanA+tanB=-m，tanAtanB=m+1，代入兩角和的正切公式，結(jié)合A、B是△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，易得到A+B的大小，進(jìn)而給出A，B的取值范圍，進(jìn)而得到方程兩根的取值范圍，后續(xù)有兩種思路：
解法一：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+mx+m+1，則函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)均在區(qū)間（0，1）內(nèi)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于m的不等式組可以求出滿足條件的m的范圍．
解法二：由x²+mx+m+1=0，將-m表示為-m=

x2+1

x+1

=

(x+1)2-2(x+1)+2

x+1

=(x+1)+

2

x+1

-2[x∈(0，1)]然后利用“對(duì)勾”函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解答．

解答：解法一：依題意有，tanA+tanB=-m，tanAtanB=m+1，
∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

-m

1-(m++1)

=1
∵0＜A+B＜π，∴A+B=

π

4

從而0＜A＜

π

4

，0＜B＜

π

4

，
故tanA∈（0，1），tanB∈（0，1）
即方程x²+mx+m+1=0的兩個(gè)實(shí)根均在（0，1）內(nèi)
設(shè)f（x）=x²+mx+m+1，則函數(shù)f（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)在（0，1）內(nèi)；
又函數(shù)f（x）的圖象是開口向上的拋物線，且對(duì)稱軸方程為x=-

m

2

，
故其圖象滿足

f(- m 2 )≤0 f(0)＞0 f(1)＞0 0＜- m 2 ＜1

即

- m2 4 +m+1≤0 m+1＞0 2m+2＞0 -2＜m＜0

解得-1＜m≤2-2

2

，
故所求m的范圍是(-1，2-

2

]
解法二：依題意有，tanA+tanB=-m，tanAtanB=m+1，
∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

-m

1-(m++1)

=1
∵0＜A+B＜π，∴A+B=

π

4

從而0＜A＜

π

4

，0＜B＜

π

4

，
故tanA∈（0，1），tanB∈（0，1）
即方程x²+mx+m+1=0的兩個(gè)實(shí)根均在（0，1）內(nèi)
則x²+mx+m+1=0得-m（x+1）=x²+1
即-m=

x2+1

x+1

=

(x+1)2-2(x+1)+2

x+1

=(x+1)+

2

x+1

-2[x∈(0，1)]；
故所求m的范圍是(-1，2-2

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，韋達(dá)定理（一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系），兩角和的正切公式，其中利用韋達(dá)定理及兩角和的正切公式，確定方程兩個(gè)根的范圍是解答的關(guān)鍵．