Question

已知A（2，1），B（1，-2），C（

3

5

，-

1

5

），動點P（a，b）滿足0≤

OP

•

OA

≤2且0≤

OP

•

OB

≤2，則點P到點C的距離大于

1

4

的概率為（　�。�

• A、1-

  5

  64

  π
• B、

  5

  64

  π
• C、1-

  π

  16

• D、

  π

  16

Answer 1

考點：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計

分析：根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標公式將不等式進行化簡，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵A（2，1），B（1，-2），C（

3

5

，-

1

5

），P（a，b）
∴

OP

•

OA

=2a+b，且

OP

•

OB

=a-2b，
∵0≤

OP

•

OA

≤2且0≤

OP

•

OB

≤2，
∴0≤2a+b≤2且0≤a-2b≤2，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
∵點P到點C的距離大于

1

4

，
∴|CP|＞

1

4

，則對應(yīng)的部分為陰影部分，
由

a-2b=0 2a+b=2

解得

a= 4 5 b= 2 5

，
即E（

4

5

，

2

5

），|OE|=

( 4 5 )2+( 2 5 )2

=

20 25

=

4 5

，
∴正方形OEFG的面積為

4 5

×

4 5

=

4

5

，
則陰影部分的面積為

4

5

-π×(

1

4

)2=

4

5

-

π

16

，
∴根據(jù)幾何概型的概率公式可知所求的概率為

4 5 - π 16

4 5

=1-

5π

64

，
故選：A．

點評：本題主要考查幾何概型的概率公式的計算，利用數(shù)量積將不等式進行轉(zhuǎn)化，求出相應(yīng)區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵．